Encontre a integral indefinida integral f(x) d x para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
f(x)=x^3(1-2 x^4)^5

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a integral indefinida da função . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição, que é muito útil para simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

Vamos começar identificando uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integral. Observando o denominador , percebemos que a expressão poderia ser uma boa candidata para substituição.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral.

Passo 4

Calculando a derivada de dudx = -8x^3 :
du = -8x^3 dx Rightarrow x^3 dx = -18 du
Isso significa que:

Passo 5

Agora, vamos substituir integral x^3(1-2 x^4)^5 dx = integral -18 duu^5 = -18 integral u^-5 du e na integral original:

Passo 6

Agora, integramos integral u^-5 du = u^-4-4 + C = -14 u^-4 + C :
-18 cdot (-14) u^-4 + C = 132 u^-4 + C
Multiplicando pelo coeficiente que tínhamos:

Passo 7

Finalmente, substituímos 132 (1 - 2x^4)^-4 + C de volta para :

Resposta

A integral indefinida é:
integral x^3(1-2 x^4)^5 dx = 132 (1 - 2 x^4)^-4 + C

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