Encontre a integral indefinida integral f(x) d x para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
f(x)=x^2 raiz3-2 x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a integral indefinida da função em relação a . Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observando , podemos escolher . Isso vai nos ajudar a transformar a integral em termos de .

Passo 3

Calculamos a derivada de dudx = -2 Rightarrow du = -2,dx Rightarrow dx = -12,du em relação a u = 3 - 2x Rightarrow 2x = 3 - u Rightarrow x = 3 - u2 :
Agora, vamos expressar em termos de :

Passo 4

Substituímos integral x^2 raiz3 - 2x,dx = integral ( 3 - u2 )^2 raizu ( -12 ) du e = -12 integral ( 9 - 6u + u^24 ) u^1/2,du = -18 integral (9u^1/2 - 6u^3/2 + u^5/2),du na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, integramos termo a termo:
- 18 ( 9u^3/232 - 6u^5/252 + u^7/272 ) + C
Simplificando os coeficientes:
- 18 ( 6u^3/2 - 125u^5/2 + 27u^7/2 ) + C

Passo 6

Distribuímos o - 68u^3/2 + 1240u^5/2 - 256u^7/2 + C = -34u^3/2 + 310u^5/2 - 128u^7/2 + C :

Passo 7

Finalmente, substituímos -34(3 - 2x)^3/2 + 310(3 - 2x)^5/2 - 128(3 - 2x)^7/2 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral indefinida é:
integral x^2 raiz3 - 2x,dx = -34(3 - 2x)^32 + 310(3 - 2x)^52 - 128(3 - 2x)^72 + C

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