Encontre a integral indefinida integral f(x) d x para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
f(x)=6 x^2 sen(x^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . O que precisamos aqui é usar cálculo integral, mais especificamente a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, quando derivada, apareça na integral. Nesse caso, olhando para , percebemos que é a derivada de . Isso sugere que a substituição vai ser útil aqui.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
u = x^3
Agora, calculamos a derivada de dudx = 3x^2 implies du = 3x^2 dx em relação a :

Passo 4

Observamos que na nossa integral temos 6x^2 dx = 2 cdot 3x^2 dx = 2 du . Podemos expressar isso em termos de integral 6x^2 sen(x^3) dx = integral 2 sen(u) du :
Então, substituindo na integral:

Passo 5

Agora, integramos em relação a integral 2 sen(u) du = -2 cos(u) + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos -2 cos(u) + C = -2 cos(x^3) + C de volta para :

Resposta

A integral indefinida é .

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