Use o Teorema 7 para provar a Propriedade da Potência:
lim n infty an^p=[lim n infty an]^p se p>0 e an>0

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos provar que o limite de lim n infty an^p=[lim n infty an]^p quando tende ao infinito é igual ao limite de elevado a , ou seja:
Para isso, vamos usar o Teorema 7, que nos ajuda a lidar com limites de funções contínuas. Precisamos lembrar que e .

Passo 2

Segundo o Teorema 7, se limn to infty f(an) = f(L) e é uma função contínua em , então:
Aqui, nossa função é , que é contínua para .

Passo 3

Aplicando o Teorema 7, definimos limn to infty an^p = ( limn to infty an )^p . Como e , é contínua. Assim:

Resposta

Prova concluída:
lim n infty an^p=[lim n infty an]^p

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