Encontre a integral indefinida integral f(x) d x para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
f(x)=sec ^2(5 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida de . Esse exercício está relacionado ao cálculo integral, especificamente à integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que facilita a integração quando temos uma função composta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de integral sec^2(x) , dx = tan(x) + C em relação a é , onde é a constante de integração. Ou seja,

Passo 3

No nosso caso, temos u = 5x , que é uma função composta. Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:

Passo 4

Em seguida, derivamos dudx = 5 Rightarrow du = 5 , dx Rightarrow dx = du5 em relação a para encontrar :

Passo 5

Agora, substituímos integral sec^2(5x) , dx = integral sec^2(u) cdot du5 = 15 integral sec^2(u) , du e na integral original:

Passo 6

Sabemos que 15 integral sec^2(u) , du = 15 tan(u) + C . Então,

Passo 7

Por fim, substituímos 15 tan(u) + C = 15 tan(5x) + C de volta para :

Resposta

A integral indefinida é
integral sec^2(5x) , dx = 15 tan(5x) + C

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