Encontre a integral indefinida
para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
Passo 1
Neste exercício, vamos encontrar a integral indefinida da função
. Para isso, vamos usar a técnica da substituição, que é útil quando temos uma função composta. Vamos precisar lembrar como integrar funções exponenciais e como aplicar a substituição corretamente.
Passo 2
Primeiro, identificamos a parte interna da função exponencial. Na função $ \mathrm{e}^{3x + 1}$, a expressão dentro do expoente é
. Vamos definir
para facilitar a integração.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
. Temos:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Passo 5
A integral de
em relação a
é simplesmente
. Então:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, substituímos
de volta para expressar a resposta em termos de
:
Resposta
A integral indefinida é
.
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