Encontre a integral indefinida integral f(x) d x para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
integral e^3 x+1 d x

Passo 1

Neste exercício, vamos encontrar a integral indefinida da função f(x) = e^3x + 1. Para isso, vamos usar a técnica da substituição, que é útil quando temos uma função composta. Vamos precisar lembrar como integrar funções exponenciais e como aplicar a substituição corretamente.

Passo 2

Primeiro, identificamos a parte interna da função exponencial. Na função $ \mathrm{e}^{3x + 1}$, a expressão dentro do expoente é e^3x + 1. Vamos definir u = 3x + 1 para facilitar a integração.

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du. Temos:
dudx = 3 implies du = 3,dx implies dx = du3

Passo 4

Substituímos u e dx na integral original:
integral e^3x + 1,dx = integral e^u cdot du3 = 13 integral e^u,du

Passo 5

A integral de e^u em relação a u é simplesmente e^u. Então:
13 integral e^u,du = 13 e^u + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos u de volta para expressar a resposta em termos de x:
13 e^3x + 1 + C

Resposta

A integral indefinida é 13 e^3x + 1 + C.

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