Encontre a integral indefinida de integral(5 x-1) e^2 x d x usando a substituição u=2 x.
Resolva a integral resultante em termos de u.

Passo 1

Beleza! A gente tem que resolver a integral indefinida de (5x - 1)e^2x , dx usando a substituição u = 2x. Vamos usar o conteúdo de integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a substituição: u = 2x. Isso significa que a gente vai trocar a variável x por u para facilitar a integração.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o diferencial de u em relação a x. Derivando u = 2x em relação a x, a gente tem:
dudx = 2 Rightarrow du = 2 , dx Rightarrow dx = du2
Então, isolamos o dx para substituir na integral.

Passo 4

Vamos substituir u e dx na integral original:
integral (5x - 1)e^2x , dx = integral (5x - 1)e^u cdot du2
Notice que e^2x virou e^u devido à nossa substituição.

Passo 5

Aí, a gente precisa também expressar x em termos de u para completar a substituição. Como u = 2x, podemos escrever:
x = u2
Então, substituímos x na expressão 5x - 1:
5x - 1 = 5 cdot u2 - 1 = 5u2 - 1

Passo 6

Agora, vamos colocar tudo de volta na integral:
integral (5u2 - 1)e^u cdot du2 = 12 integral (5u2 - 1)e^u , du
Aqui, tiramos o 12 para fora da integral para simplificar.

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
12 integral (5u2 - 1)e^u , du = 12 ( 52 integral u e^u , du - integral e^u , du )
Dividimos a integral em duas partes para facilitar a resolução.

Passo 8

Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, integral u e^u , du usa integração por partes, onde escolhemos:
  • v = u (assim, dv = du)
  • dw = e^u , du (assim, w = e^u)
Aplicando a fórmula de integração por partes ( integral v , dw = vw - integral w , dv):
integral u e^u , du = u e^u - integral e^u , du = u e^u - e^u + C

Passo 9

Agora, resolvemos a segunda integral: integral e^u , du = e^u + C.

Passo 10

Voltando à expressão original:
12 ( 52 ( u e^u - e^u ) - e^u ) + C
Distribuímos os coeficientes:
= 12 ( 5u e^u2 - 5 e^u2 - e^u ) + C

Passo 11

Vamos simplificar os termos:
= 5u e^u4 - 5 e^u4 - e^u2 + C
Unificamos os termos semelhantes:
= 5u e^u4 - 7 e^u4 + C

Passo 12

Por fim, substituímos u = 2x de volta para expressar a resposta em termos de x:
= 5(2x) e^2x4 - 7 e^2x4 + C = 10x e^2x4 - 7 e^2x4 + C = 5x e^2x2 - 7 e^2x4 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral (5x - 1)e^2x , dx = 5x e^2x2 - 7 e^2x4 + C

Exercícios relacionados