Encontre a integral indefinida de usando a substituição .
Resolva a integral resultante em termos de .

Passo 1

Beleza! A gente tem que resolver a integral indefinida de usando a substituição . Vamos usar o conteúdo de integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a substituição: . Isso significa que a gente vai trocar a variável por para facilitar a integração.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o diferencial de em relação a . Derivando em relação a , a gente tem:
Então, isolamos o para substituir na integral.

Passo 4

Vamos substituir e na integral original:
Notice que virou devido à nossa substituição.

Passo 5

Aí, a gente precisa também expressar em termos de para completar a substituição. Como , podemos escrever:
Então, substituímos na expressão :

Passo 6

Agora, vamos colocar tudo de volta na integral:
Aqui, tiramos o para fora da integral para simplificar.

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Dividimos a integral em duas partes para facilitar a resolução.

Passo 8

Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, usa integração por partes, onde escolhemos:
  • (assim, )
  • (assim, )
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):

Passo 9

Agora, resolvemos a segunda integral: .

Passo 10

Voltando à expressão original:
Distribuímos os coeficientes:

Passo 11

Vamos simplificar os termos:
Unificamos os termos semelhantes:

Passo 12

Por fim, substituímos de volta para expressar a resposta em termos de :

Resposta

A integral indefinida é:

Exercícios relacionados

Encontre a integral indefinida de usando a substituição .
Substitua na integral.
Encontre a integral indefinida de usando a substituição .
Determine a derivada de com relação a .
Encontre a integral indefinida de usando a substituição .
Reverta a substituição para expressar a resposta em termos de .
Resolva a integral aplicando a substituição .
Calcule a derivada de em relação a .