Encontre a integral indefinida de
usando a substituição
.
Reverta a substituição para expressar a resposta em termos de
.
Reverta a substituição para expressar a resposta em termos de
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que encontrar a integral indefinida de
. Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre integração por substituição. Para resolver esse problema, vamos usar a substituição
, que vai ajudar a simplificar a integral e facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição
. Quando fazemos isso, precisamos também substituir
em termos de
. Então, derivando ambos os lados de
em relação a
, temos:
Passo 3
Agora, vamos expressar a integral original em termos de
. Substituindo
e
, a integral fica:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, distribua os números:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, multiplicamos os termos dentro da integral:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos
e
. Sabemos que:
Primeiro, encontramos
e
:
Passo 7
Aplicando a integração por partes:
A segunda integral é simples:
Então, substituindo de volta:
Passo 8
Voltando à nossa expressão original, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Finalmente, precisamos reverter a substituição que fizemos inicialmente, recordando que
:
Resposta
A integral indefinida é:
Exercícios relacionados
Encontre a integral indefinida de
usando a substituição
.
Resolva a integral resultante em termos de .
Resolva a integral resultante em termos de
Encontre a integral indefinida de
usando a substituição
.
Substitua na integral.
Substitua
Resolva a integral
aplicando a substituição
.
Calcule a derivada de em relação a
.
Calcule a derivada de
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(l) .
(l)