Encontre a integral indefinida de integral(5 x-1) e^2 x d x usando a substituição u=2 x.
Reverta a substituição para expressar a resposta em termos de x.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que encontrar a integral indefinida de . Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre integração por substituição. Para resolver esse problema, vamos usar a substituição , que vai ajudar a simplificar a integral e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição dudx = 2 implies dx = du2 . Quando fazemos isso, precisamos também substituir em termos de . Então, derivando ambos os lados de em relação a , temos:

Passo 3

Agora, vamos expressar a integral original em termos de integral (5x - 1) e^2x , dx = integral (5 cdot u2 - 1) e^u cdot du2 . Substituindo e , a integral fica:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, distribua os números:
5 cdot u2 = 5u2
Então, a integral fica:
integral (5u2 - 1) e^u cdot du2 = 12 integral (5u2 - 1) e^u , du

Passo 5

Agora, multiplicamos os termos dentro da integral:
12 integral (5u2 - 1) e^u , du = 14 integral (5u - 2) e^u , du

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos integral v , dw = v w - integral w , dv e w = integral e^u , du = e^u . Sabemos que:
dv = 5 , du implies v = 5u - 2 (já definido)
Primeiro, encontramos e :
á

Passo 7

Aplicando a integração por partes:
integral (5u - 2) e^u , du = (5u - 2) e^u - integral 5 e^u , du
A segunda integral é simples:
integral 5 e^u , du = 5 e^u
Então, substituindo de volta:
integral (5u - 2) e^u , du = (5u - 2) e^u - 5 e^u = (5u - 7) e^u

Passo 8

Voltando à nossa expressão original, temos:
14 integral (5u - 2) e^u , du = 14 [(5u - 7) e^u] + C
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Finalmente, precisamos reverter a substituição que fizemos inicialmente, recordando que 14 [(5(2x) - 7) e^2x] + C = 14 (10x - 7) e^2x + C :

Resposta

A integral indefinida é:
integral (5x - 1) e^2x , dx = 14 (10x - 7) e^2x + C

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