Encontre a integral indefinida de usando a substituição .
Reverta a substituição para expressar a resposta em termos de .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que encontrar a integral indefinida de . Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre integração por substituição. Para resolver esse problema, vamos usar a substituição , que vai ajudar a simplificar a integral e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição . Quando fazemos isso, precisamos também substituir em termos de . Então, derivando ambos os lados de em relação a , temos:

Passo 3

Agora, vamos expressar a integral original em termos de . Substituindo e , a integral fica:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, distribua os números:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, multiplicamos os termos dentro da integral:

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos e . Sabemos que:
Primeiro, encontramos e :
á

Passo 7

Aplicando a integração por partes:
A segunda integral é simples:
Então, substituindo de volta:

Passo 8

Voltando à nossa expressão original, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Finalmente, precisamos reverter a substituição que fizemos inicialmente, recordando que :

Resposta

A integral indefinida é:

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Encontre a integral indefinida de usando a substituição .
Resolva a integral resultante em termos de .
Encontre a integral indefinida de usando a substituição .
Substitua na integral.
Resolva a integral aplicando a substituição .
Calcule a derivada de em relação a .
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(l) .