Encontre a integral indefinida (Regra de substituição) integral 1x(ln x)^n d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral 1x(ln x)^n , dx. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais usando a regra de substituição. Vamos precisar entender como escolher uma boa substituição para simplificar a integral e usar propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que possa ser substituída por uma nova variável. Observamos que temos ln x no denominador, então uma boa escolha é deixar u = ln x. Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x para fazer a substituição. Se u = ln x, então:
dudx = 1x
Isso significa que du = 1x dx.

Passo 4

Substituímos u = ln x e du = 1x dx na integral original:
integral 1x (ln x)^n , dx = integral 1u^n , du
Agora, a integral ficou mais simples: integral 1u^n , du.

Passo 5

Vamos resolver a integral integral 1u^n , du. Isso é equivalente a:
integral u^-n , du
A regra de integração para potências de u é:
integral u^k , du = u^k+1k+1 + C, desde que k neq -1
Nesse caso, k = -n, então:
integral u^-n , du = u^-n+1-n+1 + C = 11 - n u^1 - n + C

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo u = ln x:
11 - n (ln x)^1 - n + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral 1x(ln x)^n , dx = (ln x)^1 - n1 - n + C

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