Usando derivação implícita, calcule
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação usando derivação implícita. A equação que temos é:
Vamos precisar entender como derivar funções logarítmicas e polinomiais, além de aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando derivamos termos com
, usamos a regra da cadeia.
Passo 3
Derivando o lado esquerdo:
Aqui, usamos a derivada do logaritmo natural e a regra da cadeia para
.
Passo 4
Derivando o lado direito:
Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia para
e a derivada padrão para
.
Passo 5
Agora igualamos as derivadas dos dois lados:
Aqui,
representa
.
Passo 6
Vamos isolar
. Primeiro, multiplique ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 7
Distribua o lado direito:
Passo 8
Reúna todos os termos com
de um lado e os demais do outro:
Passo 9
Fatore
do lado esquerdo:
Passo 10
Isolando
:
Resposta
A derivada
é:
Exercícios relacionados
Considere o campo vetorial
Calcule
Calcule
Encontre a integral indefinida (Regra de substituição)
Usando derivação implícita, calcule
:
Mostre que o campo
é conservativo e encontre um potencial para
.