Encontre a integral indefinida (Regra de substituição) integral 2 x(2 x+15)^10 d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a integral indefinida de usando a Regra de Substituição. Isso envolve identificar uma parte da função que podemos substituir por uma variável mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observamos que temos u = 2x + 15 na integral. Vamos definir:
Essa escolha simplifica a parte dentro do parêntese, tornando a integral mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2 em relação a du = 2 , dx para substituir dx = du2 . Calculando:
Ou seja:
Podemos reescrever isso como:

Passo 4

Substituímos integral 2x(2x + 15)^10 , dx = integral 2x cdot u^10 cdot du2 e integral x cdot u^10 , du na integral original:
Aqui, o e o se cancelam:

Passo 5

No entanto, ainda temos um u = 2x + 15 na integral, que precisamos expressar em termos de 2x = u - 15 . Como x = u - 152 , podemos resolver para integral ( u - 152 ) u^10 , du :
= 12 integral (u^11 - 15u^10) , du
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
12 ( u^1212 - 15 cdot u^1111 ) + C
Simplificando:
u^1224 - 15u^1122 + C

Passo 7

Por fim, substituímos (2x + 15)^1224 - 15(2x + 15)^1122 + C de volta por :

Resposta

A integral indefinida é:
(2x + 15)^1224 - 15(2x + 15)^1122 + C

Exercícios relacionados

Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
6 f(x) = (2 x - 3)^8
Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
5 f(x) = (5 - 2 x)^{10}
Usando a derivada de logaritmo, calcule y' : y = 3^(ln x)
Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
8 F(t) = (2 t^4 - t + 1)^-4