Usando a derivada de logaritmo, calcule
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada
da função
usando a derivada de logaritmo. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções que têm logaritmos e exponenciais. Vamos precisar entender como manipular essas funções para encontrar a derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que uma propriedade dos logaritmos diz que
. Então, podemos reescrever
da seguinte forma:
Isso facilita a hora de derivar, pois agora temos uma função potência com a base
.
Passo 3
Agora, vamos usar a regra da derivada para funções da forma
, onde
é uma constante. A regra diz que:
Nesse caso, nosso
é
, que é apenas uma constante.
Passo 4
Aplicando a regra da derivada à nossa função
, temos:
Isso nos dá a derivada de
em termos de
.
Passo 5
Para deixar a resposta ainda mais clara, podemos reescrever
de volta para a forma original usando exponenciais e logaritmos:
Substituindo isso na expressão da derivada:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
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Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
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