Usando a derivada de logaritmo, calcule y' : y = 3^(ln x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função usando a derivada de logaritmo. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções que têm logaritmos e exponenciais. Vamos precisar entender como manipular essas funções para encontrar a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que uma propriedade dos logaritmos diz que . Então, podemos reescrever da seguinte forma:
Isso facilita a hora de derivar, pois agora temos uma função potência com a base .

Passo 3

Agora, vamos usar a regra da derivada para funções da forma , onde é uma constante. A regra diz que:
Nesse caso, nosso é , que é apenas uma constante.

Passo 4

Aplicando a regra da derivada à nossa função , temos:
Isso nos dá a derivada de em termos de .

Passo 5

Para deixar a resposta ainda mais clara, podemos reescrever de volta para a forma original usando exponenciais e logaritmos:
Substituindo isso na expressão da derivada:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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