Seja uma função tal que para todo .
Mostre, por indução, que para todo e todo natural, tem-se .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função definida para todos os números positivos, ou seja, . A propriedade que essa função tem é que, se você multiplicar dois números positivos e , a função deles multiplicados é igual à soma das funções individuais:
O que a gente precisa provar é que, para qualquer número positivo e qualquer número natural , a função de elevado a é igual a vezes a função de :
Para isso, vamos usar o método de indução matemática. Basicamente, a indução é como uma escada: a gente prova que o primeiro degrau dá certo e, então, mostra que se um degrau qualquer dá certo, o de cima também dá. Assim, todos os degraus funcionam!

Passo 2

Base da Indução: Primeiro, vamos provar que a afirmação é verdadeira para .
Quando , temos:
E, do lado direito da nossa equação que queremos provar:
Então,
Ou seja,
Que obviamente é verdade. Então, a base da indução está confirmada!

Passo 3

Passo Indutivo: Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número natural . Isso é o que chamamos de hipótese de indução. Ou seja, assumimos que:
Queremos mostrar que, se isso é verdade para , então também é verdade para .
Vamos considerar . Podemos reescrever como . Então:
Usando a propriedade da função que diz que , temos:
Agora, aplicando a hipótese de indução :
Assim, mostramos que se a afirmação vale para , ela também vale para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo e todo natural, vale:

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Seja a região delimitada pelos planos coordenados e planos 1 e . Calcular, com base no teorema da Divergência, o fluxo do campo , através da superficies fronteira de T.
Seja uma função tal que para todo .
Mostre que .
Seja uma função tal que para todo .
Conclua que que para todo e todo , tem-se .
Encontre a integral de linha de ao longo da curva .