Seja
uma função tal que
para todo
.
Mostre, por indução, que para todo
e todo
natural, tem-se
.
Mostre, por indução, que para todo
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função
definida para todos os números positivos, ou seja,
. A propriedade que essa função tem é que, se você multiplicar dois números positivos
e
, a função deles multiplicados é igual à soma das funções individuais:
O que a gente precisa provar é que, para qualquer número positivo
e qualquer número natural
, a função de
elevado a
é igual a
vezes a função de
:
Para isso, vamos usar o método de indução matemática. Basicamente, a indução é como uma escada: a gente prova que o primeiro degrau dá certo e, então, mostra que se um degrau qualquer dá certo, o de cima também dá. Assim, todos os degraus funcionam!
Passo 2
Base da Indução: Primeiro, vamos provar que a afirmação é verdadeira para
.
Quando
, temos:
E, do lado direito da nossa equação que queremos provar:
Então,
Ou seja,
Que obviamente é verdade. Então, a base da indução está confirmada!
Passo 3
Passo Indutivo: Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número natural
. Isso é o que chamamos de hipótese de indução. Ou seja, assumimos que:
Queremos mostrar que, se isso é verdade para
, então também é verdade para
.
Vamos considerar
. Podemos reescrever
como
. Então:
Usando a propriedade da função
que diz que
, temos:
Agora, aplicando a hipótese de indução
:
Assim, mostramos que se a afirmação vale para
, ela também vale para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo
e todo
natural, vale:
Exercícios relacionados
Seja
a região delimitada pelos planos coordenados e planos
1 e
. Calcular, com base no teorema da Divergência, o fluxo do campo
, através da superficies
fronteira de T.
Seja
uma função tal que
para todo
.
Mostre que .
Mostre que
Seja
uma função tal que
para todo
.
Conclua que que para todo e todo
, tem-se
.
Conclua que que para todo
Encontre a integral de linha de
ao longo da curva
.