Seja f: (0, infinito) -> R uma função tal que f(x y) = f(x) + f(y) para todo x, y em (0, infinito).
Mostre que f(1) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que satisfaz a relação para todo positivos. O objetivo é mostrar que . Para isso, vamos usar as propriedades dessa função e manipular a equação dada para encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a propriedade que a função satisfaz: . Isso significa que o valor da função em um produto de dois números é igual à soma dos valores da função nos números individuais. Essa propriedade é típica de funções logarítmicas, mas não vamos assumir nada; vamos usar apenas o que foi dado.

Passo 3

Agora, vamos escolher valores específicos para e que facilitem a resolução. Uma escolha inteligente é definir e . Assim, substituindo na equação dada, temos:
Simplificando o lado esquerdo:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação . Podemos subtrair de ambos os lados para isolar o termo:
O que simplifica para:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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