Seja
uma função tal que
para todo
.
Mostre que
.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que satisfaz a relação
para todo
positivos. O objetivo é mostrar que
. Para isso, vamos usar as propriedades dessa função e manipular a equação dada para encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a propriedade que a função
satisfaz:
. Isso significa que o valor da função em um produto de dois números é igual à soma dos valores da função nos números individuais. Essa propriedade é típica de funções logarítmicas, mas não vamos assumir nada; vamos usar apenas o que foi dado.
Passo 3
Agora, vamos escolher valores específicos para
e
que facilitem a resolução. Uma escolha inteligente é definir
e
. Assim, substituindo na equação dada, temos:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação
. Podemos subtrair
de ambos os lados para isolar o termo:
O que simplifica para:
Resposta
Portanto, mostramos que
.