Encontre a integral pedida. Calcule a integral: $\int_{-1}^{2}(x-2|x|) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é ∫₋₁² (x - 2|x|) dx. A matéria aqui é cálculo integral, especificamente integração definida. Para resolver, precisamos entender como funcionam as funções absolutas e como elas influenciam a integral. Vamos dividir a função em partes onde ela muda de comportamento por causa do valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dentro da integral: f(x) = x - 2|x|. A parte |x| significa o valor absoluto de x, que muda dependendo se x é positivo ou negativo. Precisamos identificar onde essa mudança ocorre no intervalo de integração de -1 a 2.

Passo 3

Sabemos que |x| = x quando x ≥ 0 e |x| = -x quando x < 0. Então, vamos dividir o intervalo de integração em duas partes: de -1 a 0 e de 0 a 2, para facilitar a integração.

Passo 4

Vamos primeiro integrar de -1 a 0. Nesse intervalo, x é negativo, então |x| = -x. Substituindo na função:
f(x) = x - 2(-x) = x + 2x = 3x

Passo 5

Agora, vamos integrar 3x de -1 a 0:
∫₋₁⁰ 3x dx = 3 * ∫₋₁⁰ x dx = 3 * [ (x²)/2 ]₋₁⁰ = 3 * [ (0²)/2 - ((-1)²)/2 ] = 3 * [0 - 1/2] = 3 * (-1/2) = -3/2

Passo 6

Em seguida, vamos integrar de 0 a 2. Nesse intervalo, x é positivo, então |x| = x. Substituindo na função:
f(x) = x - 2(x) = x - 2x = -x

Passo 7

Agora, vamos integrar -x de 0 a 2:
∫₀² (-x) dx = - ∫₀² x dx = - [ (x²)/2 ]₀² = - [ (2²)/2 - (0²)/2 ] = - [4/2 - 0] = -2

Passo 8

Finalmente, somamos os resultados das duas integrais:
Total = (-3/2) + (-2) = -3/2 - 4/2 = -7/2

Resposta

A integral ∫₋₁² (x - 2|x|) dx é igual a -7/2.

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