Encontre a integral pedida. Calcule a integral:
integrale^e^4 1x raizln x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida:
integrale^e^4 1x raizln x , dx
Esse problema envolve cálculo integral, especificamente a técnica de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Vamos começar identificando uma substituição que possa simplificar a integral. Observamos que temos t = ln x dentro da raiz. Vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos derivar dt = 1x , dx Rightarrow dx = x , dt em relação a dx = e^t , dt para encontrar :
Mas como , então . Substituindo na expressão de :

Passo 4

Vamos substituir integrale^e^4 1x raizln x , dx = integralt1^t2 1e^t raizt cdot e^t , dt = integralt1^t2 1raizt , dt e integral1^4 1raizt , dt na integral original:
Aqui, os limites de integração também mudam. Quando , então . Quando , então . Portanto, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral integral t^-1/2 , dt = 2 raizt + C . Sabemos que:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 1 a 4:
2 raizt |1^4 = 2 (raiz4 - raiz1) = 2 (2 - 1) = 2

Resposta

A integral solicitada é igual a .

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