Nos itens abaixo, é dada a inclinção f'(x) em cada ponto (x, y) de uma curva f(x), juntamente com um ponto particular (a, b) da curva. Use estas informações para determinar f(x).
f'(x) = e^(-x) + x^2 ; (0,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a derivada da função , que é , e também um ponto específico dessa função, que é . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a função . Para isso, vamos precisar usar conceitos de Integral para encontrar uma função cuja derivada seja , e depois usar o ponto dado para encontrar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que integrar a derivada de uma função nos dá a função original mais uma constante. Ou seja, se conhecemos , podemos encontrar fazendo:
onde é a constante de integração que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo de separadamente. Então temos:

Passo 4

Integrando :
E integrando :
Juntando tudo, fica:
Aqui, combinamos as constantes e em uma única constante .

Passo 5

Agora, usamos o ponto dado para encontrar . Sabemos que quando , . Substituindo na equação:
Simplificando:

Resposta

Portanto, a função é:

Exercícios relacionados