Encontre integralC F cdot d s, onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
f) F=-3 y i+x j+3 z^2 k, r(t)=(2 t+1, t^2+t, e^t), 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha . Aqui, o campo vetorial é e a curva é parametrizada por com variando de 0 a 1. Vamos usar o conteúdo de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar o vetor diferencial r'(t) = (ddt(2t + 1), ddt(t^2 + t), ddt(e^t)) = (2, 2t + 1, e^t) em termos da parametrização . Sabemos que . Vamos calcular a derivada de :

Passo 3

Agora, substituímos x = 2t + 1, y = t^2 + t, z = e^t parametrizada por F(r(t)) = -3(t^2 + t),i + (2t + 1),j + 3(e^t)^2,k = (-3t^2 - 3t),i + (2t + 1),j + 3e^2t,k . Para isso, substituímos , e em pela parametrização :
Então,

Passo 4

A integral de linha integral0^1 F(r(t)) cdot r'(t),dt se torna:
(-3t^2 - 3t)(2) + (2t + 1)(2t + 1) + 3e^2t(e^t) = (-6t^2 - 6t) + (4t^2 + 4t + 1) + 3e^3t
Vamos calcular o produto escalar (-6t^2 - 6t) + (4t^2 + 4t + 1) = -2t^2 - 2t + 1 :
-2t^2 - 2t + 1 + 3e^3t
Simplificando:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, integramos essa expressão de integral0^1 (-2t^2 - 2t + 1 + 3e^3t),dt a integral (-2t^2),dt = -23t^3, integral (-2t),dt = -t^2, integral 1,dt = t, integral 3e^3t,dt = e^3t :
[ -23t^3 - t^2 + t + e^3t ]0^1
Vamos integrar termo a termo:
Portanto, a integral se torna:

Resposta

Substituindo ( -23(1)^3 - (1)^2 + 1 + e^3(1) ) - ( -23(0)^3 - (0)^2 + 0 + e^3(0) ) = ( -23 - 1 + 1 + e^3 ) - ( 0 + 0 + 0 + 1 ) = -23 + e^3 - 1 e integralC F cdot d s = e^3 - 53 :
Simplificando:

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