Sejam as funçöes e
A função é contínua em ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está perguntando. Temos duas funções definidas por partes:
Queremos saber se a função é contínua em . Para resolver isso, vamos analisar a continuidade dessa função no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Vamos aplicar isso à função em .

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar a expressão da função . Multiplicando por :
Agora, analisamos as diferentes condições de para determinar e :
  • Se : Portanto:
  • Se : Portanto:

Passo 4

Agora, vamos verificar se é contínua em .
Primeiro, calculamos :
Então, está definida e é igual a 0.

Passo 5

Em seguida, calculamos o limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ) e pela direita ( ).
  • Para (valores de menores que 0):
    Então:
  • Para (valores de maiores ou iguais a 0):
    Então:

Passo 6

Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e valem 0, temos:
E já vimos que .

Passo 7

Como todas as condições para continuidade são atendidas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de 0 existe e é igual a 0.
  3. O limite é igual a .

Resposta

Sim, a função é contínua em .

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a)
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f)