Sejam as funçöes
e
A função
é contínua em
?
A função
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está perguntando. Temos duas funções definidas por partes:
Queremos saber se a função
é contínua em
. Para resolver isso, vamos analisar a continuidade dessa função no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Vamos aplicar isso à função
em
.
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar a expressão da função
. Multiplicando
por
:
Agora, analisamos as diferentes condições de
para determinar
e
:
- Se
: Portanto: - Se
: Portanto:
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é contínua em
.
Primeiro, calculamos
:
Então,
está definida e é igual a 0.
Passo 5
Em seguida, calculamos o limite de
quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
) e pela direita (
).
-
Para
(valores de menores que 0): Então: -
Para
(valores de maiores ou iguais a 0): Então:
Passo 6
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e valem 0, temos:
E já vimos que
.
Passo 7
Como todas as condições para continuidade são atendidas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de 0 existe e é igual a 0. - O limite é igual a
.
Resposta
Sim, a função
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Sejam as funçöes
e
e
são contínuas em
?
Encontre uma série de Taylor da função
em torno de
.
Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
a)
a)
Encontre
, onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
f)
f)