Encontre
, onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
c)
c)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
definida pela parametrização
, onde
varia de
a
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integrais de linha de campos vetoriais, que envolve parametrizar a curva e calcular a integral escalar resultante.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar as componentes do campo vetorial
em termos da parametrização da curva
. A curva é dada por
.
Isso significa que:
Passo 3
Em seguida, calculamos a derivada da parametrização
em relação a
, que nos dá o vetor tangente à curva. Essa derivada é necessária para encontrar
, que representa um pequeno deslocamento ao longo da curva.
Passo 4
Agora, substituímos
e
na expressão do campo vetorial
para obter
ao longo da curva
.
Passo 5
A integral de linha
pode ser escrita como uma integral em termos de
. Para isso, calculamos o produto escalar entre
e
.
Passo 6
Finalmente, integramos essa expressão em relação a
no intervalo de
a
.
Resposta
A integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das funções abaixo. Para isto, determine a interseção com os eixos (caso exista), o domínio, os máximos e mínimos (caso existam), os intervalos de crescimento de decrescimento, os intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo, os pontos de inflexão (caso exista) e calcule todos os limites necessários.
Esboce um gráfico com as seguintes características
Esboce as curvas
com as seguintes propriedades:
para
para
pela esquerda e direita de
.
Verificar se a função, ou as funções dadas, constituem solução da EDO.
const. arbitrária.