Encontre , onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
c)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva definida pela parametrização , onde varia de a . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integrais de linha de campos vetoriais, que envolve parametrizar a curva e calcular a integral escalar resultante.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar as componentes do campo vetorial em termos da parametrização da curva . A curva é dada por .
Isso significa que:

Passo 3

Em seguida, calculamos a derivada da parametrização em relação a , que nos dá o vetor tangente à curva. Essa derivada é necessária para encontrar , que representa um pequeno deslocamento ao longo da curva.

Passo 4

Agora, substituímos e na expressão do campo vetorial para obter ao longo da curva .

Passo 5

A integral de linha pode ser escrita como uma integral em termos de . Para isso, calculamos o produto escalar entre e .

Passo 6

Finalmente, integramos essa expressão em relação a no intervalo de a .

Resposta

A integral de linha é igual a .

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