Encontre integralC F cdot d s, onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
c) F=x i+y j, r(t)=(2 t+1, t+2), 0 <= t <= 1

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha de um campo vetorial F = x i + y j ao longo de uma curva C definida pela parametrização r(t) = (2t + 1, t + 2), onde t varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integrais de linha de campos vetoriais, que envolve parametrizar a curva e calcular a integral escalar resultante.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar as componentes do campo vetorial F em termos da parametrização da curva C. A curva é dada por r(t) = (x(t), y(t)) = (2t + 1, t + 2).
Isso significa que:
x(t) = 2t + 1
y(t) = t + 2

Passo 3

Em seguida, calculamos a derivada da parametrização r(t) em relação a t, que nos dá o vetor tangente à curva. Essa derivada é necessária para encontrar ds, que representa um pequeno deslocamento ao longo da curva.
r'(t) = ( dxdt, dydt ) = (2, 1)

Passo 4

Agora, substituímos x(t) e y(t) na expressão do campo vetorial F para obter F(t) ao longo da curva C.
F(t) = x(t) i + y(t) j = (2t + 1) i + (t + 2) j

Passo 5

A integral de linha integralC F cdot ds pode ser escrita como uma integral em termos de t. Para isso, calculamos o produto escalar entre F(t) e r'(t).
F(t) cdot r'(t) = (2t + 1)(2) + (t + 2)(1) = 4t + 2 + t + 2 = 5t + 4

Passo 6

Finalmente, integramos essa expressão em relação a t no intervalo de 0 a 1.
integral0^1 (5t + 4) , dt = [ 52t^2 + 4t ]0^1 = ( 52(1)^2 + 4(1) ) - ( 0 + 0 ) = 52 + 4 = 132

Resposta

A integral de linha é igual a dfrac132.

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