Esboce as curvas
com as seguintes propriedades:
para
para
pela esquerda e direita de
.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado do exercício. Precisamos desenhar curvas
que atendam às seguintes condições:
-
: A função passa pelo ponto (2, 4). -
para : A concavidade da curva é para cima quando é menor que 2. -
para : A concavidade da curva é para baixo quando é maior que 2. -
pela esquerda e direita de : A inclinação da curva se aproxima do infinito quando se aproxima de 2 por ambos os lados.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de derivadas e concavidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a segunda derivada da função
, e ela nos informa sobre a concavidade da curva:
- Se
, a curva é côncava para cima. - Se
, a curva é côncava para baixo.
No nosso caso, a concavidade muda no ponto
, indicando um ponto de inflexão.
Passo 3
A condição
quando
se aproxima de 2 pela esquerda e direita sugere que há uma assíntota vertical em
. Isso significa que a função tende a infinito próximo a esse valor de
.
Passo 4
Vamos considerar uma função que tenha uma assíntota vertical em
e que passe pelo ponto (2, 4). Uma forma comum de funções com assíntotas verticais é:
Onde
é o ponto de assíntota. No nosso caso, como a assíntota está em
, temos
. Queremos que a função passe por (2, 4), então:
No entanto,
não é definido, o que indica que precisamos ajustar nossa abordagem.
Passo 5
Vamos propor uma função que tenha uma assíntota vertical em
e que suporte as condições de concavidade. Uma opção é:
Para que a função passe por (2, 4), precisamos ajustar os valores de
e
. Mas, devido à assíntota vertical, não podemos definir diretamente
. Isso sugere que precisamos de uma função que tenha comportamento assimptótico e ainda atenda às condições de concavidade.
Passo 6
Considerando a necessidade de uma mudança na concavidade em
, podemos optar por uma função polinomial com termo cúbico, como:
Vamos ajustar os coeficientes para atender às condições dadas.
Passo 7
Calculando as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
A condição
para
e
para
implica que
.
Passo 8
Para que
quando
pela esquerda e direita, precisamos que a primeira derivada se aproxime de infinito nesse ponto. Isso acontece se o termo
dominar, então
.
Passo 9
Agora, nossa função simplificada é:
Usando a condição
:
Passo 10
Portanto, a função que atende a todas as condições é:
Onde
para garantir que
mude de positivo para negativo conforme
passa de 2.
Resposta
A função que satisfaz todas as condições é
, onde
é um número positivo.
Exercícios relacionados
Encontre
, onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
c)
c)
Esboce o gráfico das funções abaixo. Para isto, determine a interseção com os eixos (caso exista), o domínio, os máximos e mínimos (caso existam), os intervalos de crescimento de decrescimento, os intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo, os pontos de inflexão (caso exista) e calcule todos os limites necessários.
Verificar se a função, ou as funções dadas, constituem solução da EDO.
const. arbitrária.
Seja
dada por
. Mostre que
não existe.