Esboce as curvas com as seguintes propriedades: para para pela esquerda e direita de .

Passo 1

Vamos analisar o enunciado do exercício. Precisamos desenhar curvas que atendam às seguintes condições:
  • : A função passa pelo ponto (2, 4).
  • para : A concavidade da curva é para cima quando é menor que 2.
  • para : A concavidade da curva é para baixo quando é maior que 2.
  • pela esquerda e direita de : A inclinação da curva se aproxima do infinito quando se aproxima de 2 por ambos os lados.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de derivadas e concavidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a segunda derivada da função , e ela nos informa sobre a concavidade da curva:
  • Se , a curva é côncava para cima.
  • Se , a curva é côncava para baixo.
No nosso caso, a concavidade muda no ponto , indicando um ponto de inflexão.

Passo 3

A condição quando se aproxima de 2 pela esquerda e direita sugere que há uma assíntota vertical em . Isso significa que a função tende a infinito próximo a esse valor de .

Passo 4

Vamos considerar uma função que tenha uma assíntota vertical em e que passe pelo ponto (2, 4). Uma forma comum de funções com assíntotas verticais é:
Onde é o ponto de assíntota. No nosso caso, como a assíntota está em , temos . Queremos que a função passe por (2, 4), então:
No entanto, não é definido, o que indica que precisamos ajustar nossa abordagem.

Passo 5

Vamos propor uma função que tenha uma assíntota vertical em e que suporte as condições de concavidade. Uma opção é:
Para que a função passe por (2, 4), precisamos ajustar os valores de e . Mas, devido à assíntota vertical, não podemos definir diretamente . Isso sugere que precisamos de uma função que tenha comportamento assimptótico e ainda atenda às condições de concavidade.

Passo 6

Considerando a necessidade de uma mudança na concavidade em , podemos optar por uma função polinomial com termo cúbico, como:
Vamos ajustar os coeficientes para atender às condições dadas.

Passo 7

Calculando as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
A condição para e para implica que .

Passo 8

Para que quando pela esquerda e direita, precisamos que a primeira derivada se aproxime de infinito nesse ponto. Isso acontece se o termo dominar, então .

Passo 9

Agora, nossa função simplificada é:
Usando a condição :

Passo 10

Portanto, a função que atende a todas as condições é:
Onde para garantir que mude de positivo para negativo conforme passa de 2.

Resposta

A função que satisfaz todas as condições é , onde é um número positivo.

Exercícios relacionados

Encontre , onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
c)
Esboce o gráfico das funções abaixo. Para isto, determine a interseção com os eixos (caso exista), o domínio, os máximos e mínimos (caso existam), os intervalos de crescimento de decrescimento, os intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo, os pontos de inflexão (caso exista) e calcule todos os limites necessários.
Verificar se a função, ou as funções dadas, constituem solução da EDO.
const. arbitrária.
Seja dada por . Mostre que não existe.