Encontre , onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
g)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva dada pela parametrização , onde varia de a . Vamos usar o conceito de integrais de linha e parametrização de curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar o campo vetorial em termos da parametrização da curva. Isso significa substituir , e na expressão de pelos componentes de .

Passo 3

Substituindo, temos:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é .

Passo 4

Calculando :
Essa derivada nos dá o vetor tangente à curva em cada ponto.

Passo 5

A integral de linha é calculada como o produto escalar de e integrado sobre o intervalo de . Então, primeiro vamos calcular esse produto escalar:

Passo 6

Agora, configuramos a integral:
Vamos integrar termo a termo.

Passo 7

Integrando:
Somando tudo:

Resposta

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