Encontre integralC F cdot d s, onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
g) F=x i+y j-z k, r(t)=(t, 3 t^2, 2 t^3),-1 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular a integral de linha do campo vetorial F = x i + y j - z k ao longo da curva C dada pela parametrização r(t) = (t, 3 t^2, 2 t^3), onde t varia de -1 a 1. Vamos usar o conceito de integrais de linha e parametrização de curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar o campo vetorial F em termos da parametrização da curva. Isso significa substituir x, y e z na expressão de F pelos componentes de r(t).

Passo 3

Substituindo, temos:
F(r(t)) = t i + 3 t^2 j - 2 t^3 k
Agora, precisamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t, que é r'(t).

Passo 4

Calculando r'(t):
r'(t) = ( ddt t, ddt 3 t^2, ddt 2 t^3 ) = (1, 6 t, 6 t^2)
Essa derivada nos dá o vetor tangente à curva em cada ponto.

Passo 5

A integral de linha é calculada como o produto escalar de F(r(t)) e r'(t) integrado sobre o intervalo de t. Então, primeiro vamos calcular esse produto escalar:
F(r(t)) cdot r'(t) = t cdot 1 + 3 t^2 cdot 6 t + (-2 t^3) cdot 6 t^2 = t + 18 t^3 - 12 t^5

Passo 6

Agora, configuramos a integral:
integralC F cdot d s = integral-1^1 ( t + 18 t^3 - 12 t^5 ) dt
Vamos integrar termo a termo.

Passo 7

Integrando:
integral-1^1 t , dt = [ 12 t^2 ]-1^1 = 12(1^2 - (-1)^2) = 0
integral-1^1 18 t^3 , dt = 18 [ 14 t^4 ]-1^1 = 18 ( 14 - 14 ) = 0
integral-1^1 -12 t^5 , dt = -12 [ 16 t^6 ]-1^1 = -12 ( 16 - 16 ) = 0
Somando tudo:
0 + 0 + 0 = 0

Resposta

integralC F cdot d s = 0

Exercícios relacionados