Seja
dada por
. Determine e esboce o domínio e a imagem de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar e desenhar o domínio e a imagem da função
dada por
. Aqui, estamos trabalhando com funções multivariadas que envolvem geometria no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define o domínio de uma função e como transformar esses valores na imagem dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está bem definida. Olhando para a função, vemos que temos uma raiz quadrada:
. Para que essa expressão seja válida (isto é, para que a raiz quadrada seja real e definida), o que está dentro dela,
, precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos a inequação:
Passo 3
Vamos resolver essa inequação para encontrar as condições que
e
devem satisfazer. Reorganizando a inequação:
Essa desigualdade representa todos os pontos
que estão dentro ou sobre o círculo de raio
no plano
. Portanto, o domínio de
é o conjunto de todos os pares
cujo raio está no máximo
.
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem da função
. A imagem é o conjunto de todos os pontos que a função pode produzir em
. Dada a função:
Observe que o segundo componente
é sempre não negativo, já que é uma raiz quadrada. Além disso, podemos relacionar os componentes
,
e
na seguinte equação:
Então, todos os pontos na imagem de
satisfazem a equação da esfera de raio
centrada na origem, mas com
. Isso significa que a imagem de
é a meia-esfera superior dessa esfera.
Resposta
O domínio de
é o conjunto de todos os pontos
no plano que satisfazem
, ou seja, dentro ou sobre um círculo de raio
. A imagem de
é a meia-esfera superior da esfera de raio
centrada na origem no espaço tridimensional, onde
.
Exercícios relacionados
Encontre
, onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
g)
g)
Seja
dada por
. Mostre que
não existe.
Seja
dada por
. Calcule
.
Seja
dada por
. Mostre que
é contínua em
.