Seja dada por . Determine e esboce o domínio e a imagem de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar e desenhar o domínio e a imagem da função dada por . Aqui, estamos trabalhando com funções multivariadas que envolvem geometria no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define o domínio de uma função e como transformar esses valores na imagem dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está bem definida. Olhando para a função, vemos que temos uma raiz quadrada: . Para que essa expressão seja válida (isto é, para que a raiz quadrada seja real e definida), o que está dentro dela, , precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos a inequação:

Passo 3

Vamos resolver essa inequação para encontrar as condições que e devem satisfazer. Reorganizando a inequação:
Essa desigualdade representa todos os pontos que estão dentro ou sobre o círculo de raio no plano . Portanto, o domínio de é o conjunto de todos os pares cujo raio está no máximo .

Passo 4

Agora, vamos determinar a imagem da função . A imagem é o conjunto de todos os pontos que a função pode produzir em . Dada a função:
Observe que o segundo componente é sempre não negativo, já que é uma raiz quadrada. Além disso, podemos relacionar os componentes , e na seguinte equação:
Então, todos os pontos na imagem de satisfazem a equação da esfera de raio centrada na origem, mas com . Isso significa que a imagem de é a meia-esfera superior dessa esfera.

Resposta

O domínio de é o conjunto de todos os pontos no plano que satisfazem , ou seja, dentro ou sobre um círculo de raio . A imagem de é a meia-esfera superior da esfera de raio centrada na origem no espaço tridimensional, onde .

Exercícios relacionados

Encontre , onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
g)
Seja dada por . Mostre que não existe.
Seja dada por . Calcule .
Seja dada por . Mostre que é contínua em .