Seja
dada por
. Mostre que
não existe.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por
O objetivo é mostrar que o limite de
quando
se aproxima de
não existe. Para resolver isso, vamos precisar entender limites de funções vetoriais e verificar se os limites das componentes individuais existem e são consistentes.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada componente da função
separadamente. Uma função vetorial tem um limite definido se e somente se todas as suas componentes têm limites definidos e esses limites coincidem.
Então, vamos examinar cada uma das três componentes de
:
Passo 3
Vamos começar pela primeira componente:
Quando
se aproxima de
,
tende a 0. Portanto:
Então, o limite da primeira componente é 0.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda componente:
Novamente, quando
se aproxima de
, tanto
quanto
tendem a 0, então o produto
também tende a 0:
Assim, o limite da segunda componente também é 0.
Passo 5
Agora, a terceira componente é um pouco mais complicada:
Precisamos verificar se esse limite existe quando
se aproxima de
. Uma abordagem comum é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos e ver se obtemos resultados diferentes.
Passo 6
Vamos calcular o limite de
ao longo de diferentes caminhos:
Caminho 1:
Portanto:
Caminho 2:
Assim:
Passo 7
Observamos que ao longo do caminho
, o limite de
é
, enquanto ao longo do caminho
, o limite é
. Como esses limites são diferentes, concluímos que o limite de
não existe quando
se aproxima de
.
Passo 8
Como a terceira componente
não possui um limite definido em
, isso implica que o limite da função vetorial
também não existe nesse ponto, mesmo que as outras duas componentes tenham limites definidos iguais a 0.
Resposta
O limite de
quando
tende a
não existe.
Exercícios relacionados
Verificar se a função, ou as funções dadas, constituem solução da EDO.
const. arbitrária.
Esboce as curvas
com as seguintes propriedades:
para
para
pela esquerda e direita de
.
Encontre
, onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
g)
g)
Seja
dada por
. Determine e esboce o domínio e a imagem de
.