Seja f: R^2-(0,0) R^3 dada por f(x, y)=(ln (1+x^2+y^2), 2 x y, x yx^2+y^2). Mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função f(x, y) = (ln (1 + x^2 + y^2), 2xy, xyx^2 + y^2) definida por
O objetivo é mostrar que o limite de quando se aproxima de não existe. Para resolver isso, vamos precisar entender limites de funções vetoriais e verificar se os limites das componentes individuais existem e são consistentes.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da função separadamente. Uma função vetorial tem um limite definido se e somente se todas as suas componentes têm limites definidos e esses limites coincidem.
Então, vamos examinar cada uma das três componentes de :

Passo 3

Vamos começar pela primeira componente:
f1(x, y) = ln(1 + x^2 + y^2)
Quando lim(x, y) to (0,0) f1(x, y) = ln(1 + 0) = ln(1) = 0 se aproxima de , tende a 0. Portanto:
Então, o limite da primeira componente é 0.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente:
f2(x, y) = 2xy
Novamente, quando lim(x, y) to (0,0) f2(x, y) = 2 times 0 times 0 = 0 se aproxima de , tanto quanto tendem a 0, então o produto também tende a 0:
Assim, o limite da segunda componente também é 0.

Passo 5

Agora, a terceira componente é um pouco mais complicada:
f3(x, y) = xyx^2 + y^2
Precisamos verificar se esse limite existe quando se aproxima de . Uma abordagem comum é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos e ver se obtemos resultados diferentes.

Passo 6

Vamos calcular o limite de f3(x, x) = x cdot xx^2 + x^2 = x^22x^2 = 12 ao longo de diferentes caminhos:
Caminho 1: limx to 0 f3(x, x) = 12
f3(x, -x) = x cdot (-x)x^2 + x^2 = -x^22x^2 = -12
Portanto:
limx to 0 f3(x, -x) = -12
Caminho 2:
Assim:

Passo 7

Observamos que ao longo do caminho , o limite de é , enquanto ao longo do caminho , o limite é . Como esses limites são diferentes, concluímos que o limite de não existe quando se aproxima de .

Passo 8

Como a terceira componente não possui um limite definido em , isso implica que o limite da função vetorial também não existe nesse ponto, mesmo que as outras duas componentes tenham limites definidos iguais a 0.

Resposta

O limite de quando tende a não existe.

Exercícios relacionados