Seja dada por . Mostre que não existe.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por
O objetivo é mostrar que o limite de quando se aproxima de não existe. Para resolver isso, vamos precisar entender limites de funções vetoriais e verificar se os limites das componentes individuais existem e são consistentes.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da função separadamente. Uma função vetorial tem um limite definido se e somente se todas as suas componentes têm limites definidos e esses limites coincidem.
Então, vamos examinar cada uma das três componentes de :

Passo 3

Vamos começar pela primeira componente:
Quando se aproxima de , tende a 0. Portanto:
Então, o limite da primeira componente é 0.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente:
Novamente, quando se aproxima de , tanto quanto tendem a 0, então o produto também tende a 0:
Assim, o limite da segunda componente também é 0.

Passo 5

Agora, a terceira componente é um pouco mais complicada:
Precisamos verificar se esse limite existe quando se aproxima de . Uma abordagem comum é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos e ver se obtemos resultados diferentes.

Passo 6

Vamos calcular o limite de ao longo de diferentes caminhos:
Caminho 1:
Portanto:
Caminho 2:
Assim:

Passo 7

Observamos que ao longo do caminho , o limite de é , enquanto ao longo do caminho , o limite é . Como esses limites são diferentes, concluímos que o limite de não existe quando se aproxima de .

Passo 8

Como a terceira componente não possui um limite definido em , isso implica que o limite da função vetorial também não existe nesse ponto, mesmo que as outras duas componentes tenham limites definidos iguais a 0.

Resposta

O limite de quando tende a não existe.

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Verificar se a função, ou as funções dadas, constituem solução da EDO.
const. arbitrária.
Esboce as curvas com as seguintes propriedades: para para pela esquerda e direita de .
Encontre , onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
g)
Seja dada por . Determine e esboce o domínio e a imagem de .