Seja f: R^2 R^2 dada por f(x, y)=(e^x y, 3+sen(x+y)). Calcule lim (x, y) (0,0) f(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite da função quando se aproxima de . Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e entender como cada componente da função se comporta nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira parte da função: . Sabemos que representa o produto de e . Conforme se aproxima de , tanto quanto vão para zero, então o produto também vai para zero.

Passo 3

Agora, considerando que lim(x, y) to (0, 0) e^xy = e^0 = 1 vai para zero, a expressão fica , já que qualquer número elevado a zero é 1. Portanto:

Passo 4

Vamos analisar a segunda parte da função: . Aqui, temos a soma de 3 com o seno de . Conforme e se aproximam de zero, a soma também vai para zero.

Passo 5

Conhecendo o comportamento da função seno, sabemos que sin(x + y) to sin(0) = 0 . Então, quando se aproxima de :
Logo, a expressão se aproxima de .

Resposta

lim(x, y) to (0, 0) f(x, y) = (1, 3)

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