Mostre que a matriz
é ortogonoal.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Precisamos mostrar que a matriz
é ortogonal. Isso envolve entender o que é uma matriz ortogonal e saber como verificar essa propriedade.
Passo 2
O que é uma matriz ortogonal? Uma matriz quadrada
é dita ortogonal se o seu transposto é igual à sua inversa, ou seja:
Outra forma de verificar é multiplicar a matriz pelo seu transposto e ver se o resultado é a matriz identidade
:
Passo 3
Vamos encontrar o transposto de
. O transposto de uma matriz é obtido trocando suas linhas por colunas:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar
por
:
Realizando a multiplicação:
- Elemento (1,1):
- Elemento (1,2):
- Elemento (2,1):
- Elemento (2,2):
Portanto, a multiplicação resulta em:
Resposta
Como
, concluímos que a matriz
é ortogonal.