Mostre que a matriz
M=[cc cos theta & sen theta -sen theta & cos theta ]
é ortogonoal.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Precisamos mostrar que a matriz
M=[cc cos theta & sen theta -sen theta & cos theta ]
é ortogonal. Isso envolve entender o que é uma matriz ortogonal e saber como verificar essa propriedade.

Passo 2

O que é uma matriz ortogonal? Uma matriz quadrada M é dita ortogonal se o seu transposto é igual à sua inversa, ou seja:
M^T = M^-1
Outra forma de verificar é multiplicar a matriz pelo seu transposto e ver se o resultado é a matriz identidade I:
M^T cdot M = I

Passo 3

Vamos encontrar o transposto de M. O transposto de uma matriz é obtido trocando suas linhas por colunas:
M^T = [cc cos theta & -sen theta sen theta & cos theta ]

Passo 4

Agora, vamos multiplicar M^T por M:
M^T cdot M = [cc cos theta & -sen theta sen theta & cos theta ] cdot [cc cos theta & sen theta -sen theta & cos theta ]
Realizando a multiplicação:
  • Elemento (1,1):
cos theta cdot cos theta + (-sen theta) cdot (-sen theta) = cos^2 theta + sen^2 theta = 1
  • Elemento (1,2):
cos theta cdot sen theta + (-sen theta) cdot cos theta = cos theta sen theta - cos theta sen theta = 0
  • Elemento (2,1):
sen theta cdot cos theta + cos theta cdot (-sen theta) = sen theta cos theta - sen theta cos theta = 0
  • Elemento (2,2):
sen theta cdot sen theta + cos theta cdot cos theta = sen^2 theta + cos^2 theta = 1
Portanto, a multiplicação resulta em:
M^T cdot M = [cc 1 & 0 0 & 1 ] = I

Resposta

Como M^T cdot M = I, concluímos que a matriz M é ortogonal.

Exercícios relacionados