(2,0) Encontre um vetor de norma 3 que seja ortogonal a U=(1,1,1) e V=(0,1,2).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar um vetor que tenha norma igual a 3 e que seja ortogonal aos vetores e . Isso envolve conceitos de vetores no espaço tridimensional e de ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são ortogonais se o produto ponto (ou escalar) entre eles for zero. Então, queremos encontrar um vetor U cdot W = 0 e V cdot W = 0 tal que:
1 cdot x + 1 cdot y + 1 cdot z = 0 (1)
Isso nos dá duas equações:
0 cdot x + 1 cdot y + 2 cdot z = 0 (2)

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar relações entre y + 2z = 0 implies y = -2z e x + (-2z) + z = 0 implies x - z = 0 implies x = z . Da equação (2):
Agora, substituímos na equação (1):

Passo 4

Então, podemos expressar x = z e y = -2z e W = (z, -2z, z) = z cdot (1, -2, 1) em termos de :
Portanto, o vetor fica:
Isso significa que qualquer múltiplo do vetor será ortogonal a e .

Passo 5

Agora, queremos que a norma de |W| = raizx^2 + y^2 + z^2 seja 3. A norma de um vetor |W| = raiz(z)^2 + (-2z)^2 + (z)^2 = raizz^2 + 4z^2 + z^2 = raiz6z^2 = raiz6 cdot |z| é dada por:
raiz6 cdot |z| = 3 implies |z| = 3raiz6 = raiz62
Substituindo :
Queremos que isso seja igual a 3:
Então, .

Passo 6

Escolhendo x = raiz62, y = -2 cdot raiz62 = -raiz6, z = raiz62 , temos:
W = ( raiz62, -raiz6, raiz62 )
Então, o vetor é:
Alternativamente, se escolhermos , obteríamos o vetor oposto, mas com a mesma norma e ortogonalidade.

Resposta

Um vetor de norma 3 ortogonal a W = ( raiz62, -raiz6, raiz62 ) e é:

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