Encontre um vetor de norma 3 que seja ortogonal a
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar um vetor que tenha norma igual a 3 e que seja ortogonal aos vetores
e
. Isso envolve conceitos de vetores no espaço tridimensional e de ortogonalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são ortogonais se o produto ponto (ou escalar) entre eles for zero. Então, queremos encontrar um vetor
tal que:
Isso nos dá duas equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar relações entre
e
. Da equação (2):
Agora, substituímos
na equação (1):
Passo 4
Então, podemos expressar
e
em termos de
:
Portanto, o vetor
fica:
Isso significa que qualquer múltiplo do vetor
será ortogonal a
e
.
Passo 5
Agora, queremos que a norma de
seja 3. A norma de um vetor
é dada por:
Substituindo
:
Queremos que isso seja igual a 3:
Então,
.
Passo 6
Escolhendo
, temos:
Então, o vetor
é:
Alternativamente, se escolhermos
, obteríamos o vetor oposto, mas com a mesma norma e ortogonalidade.
Resposta
Um vetor de norma 3 ortogonal a
e
é: