Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência: sumk=1^infty 1k+2 x^2 k+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potência sumk=1^infty 1k+2 x^2k+1. Isso significa que queremos descobrir para quais valores de x essa série converge, ou seja, soma um valor finito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a série. Ela é da forma sum ak x^n, onde:
  • ak = 1k+2
  • O expoente de x é 2k + 1
Isso não é uma série de potência típica onde o expoente é simplesmente k, mas a gente ainda pode usar o Teste da Razão para analisar a convergência.

Passo 3

O Teste da Razão diz que, para uma série de termos gerais uk, se o limite L = limk to infty | uk+1uk | for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Aplicando isso na nossa série, temos:
uk = 1k+2 x^2k+1
Então, vamos calcular uk+1uk:
uk+1uk = 1(k+1)+2 x^2(k+1)+11k+2 x^2k+1 = k+2k+3 cdot x^2

Passo 4

Agora, calculamos o limite quando k tende ao infinito:
L = limk to infty | k+2k+3 cdot x^2 | = | x^2 | cdot limk to infty k+2k+3 = |x^2| cdot 1 = x^2
Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que L < 1:
x^2 < 1 implies |x| < 1

Passo 5

Então, até aqui sabemos que a série converge para |x| < 1. Agora, precisamos verificar o que acontece nos limites x = 1 e x = -1.
  • Para x = 1:
    A série fica sumk=1^infty 1k+2. Isso é uma série harmônica que diverge.
  • Para x = -1:
    A série fica sumk=1^infty 1k+2 (-1)^2k+1 = -sumk=1^infty 1k+2. Novamente, uma série harmônica que diverge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é -1 < x < 1.

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