Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a série converge absolutamente ou converge condicionalmente. Isso está ligado ao conteúdo de séries numéricas, especificamente às séries alternadas e ao teste da razão. Vamos precisar entender o que é convergência absoluta e condicional e como aplicar os testes apropriados para verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta e convergência condicional:
Convergência absoluta: uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos também converge.
Convergência condicional: uma série converge condicionalmente se ela converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
Para analisar a série dada, vamos verificar a convergência absoluta primeiro.
Passo 3
Vamos considerar a série dos valores absolutos:
Podemos simplificar essa expressão:
2^k3^k+2 = 2^k3^k cdot 3^2 = 19 ( 23 )^k
Então, a série fica:
sumk=1^infty 19 cdot 1k^3 ( 23 )^k
Passo 4
Para verificar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de séries com termos que envolvem potências de .
O Teste da Razão diz que se :
Se , a série converge absolutamente.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 5
Vamos aplicar o Teste da Razão na série dos valores absolutos:
Agora, vamos calcular o limite quando limk to infty k^3(k+1)^3 cdot 23 = limk to infty ( kk+1 )^3 cdot 23 = (1)^3 cdot 23 = 23 < 1 :
Como o limite é menor que 1, a série dos valores absolutos converge.
Passo 6
Como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original converge absolutamente. Quando uma série converge absolutamente, ela também converge condicionalmente, mas a convergência absoluta é a forma mais forte de convergência.