Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente. sumk=1^infty (-1)^k+1 2^kk^3 3^k+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a série converge absolutamente ou converge condicionalmente. Isso está ligado ao conteúdo de séries numéricas, especificamente às séries alternadas e ao teste da razão. Vamos precisar entender o que é convergência absoluta e condicional e como aplicar os testes apropriados para verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta e convergência condicional:
  • Convergência absoluta: uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos também converge.
  • Convergência condicional: uma série converge condicionalmente se ela converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
Para analisar a série dada, vamos verificar a convergência absoluta primeiro.

Passo 3

Vamos considerar a série dos valores absolutos:
sumk=1^infty | (-1)^k+1 2^kk^3 3^k+2 | = sumk=1^infty 2^kk^3 3^k+2
Podemos simplificar essa expressão:
2^k3^k+2 = 2^k3^k cdot 3^2 = 19 ( 23 )^k
Então, a série fica:
sumk=1^infty 19 cdot 1k^3 ( 23 )^k

Passo 4

Para verificar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de séries com termos que envolvem potências de .
O Teste da Razão diz que se :
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 5

Vamos aplicar o Teste da Razão na série dos valores absolutos:
ak = 19 cdot 1k^3 ( 23 )^k
Calculamos:
ak+1ak = 19 cdot 1(k+1)^3 ( 23 )^k+1 19 cdot 1k^3 ( 23 )^k = k^3(k+1)^3 cdot 23
Agora, vamos calcular o limite quando limk to infty k^3(k+1)^3 cdot 23 = limk to infty ( kk+1 )^3 cdot 23 = (1)^3 cdot 23 = 23 < 1 :
Como o limite é menor que 1, a série dos valores absolutos converge.

Passo 6

Como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original converge absolutamente. Quando uma série converge absolutamente, ela também converge condicionalmente, mas a convergência absoluta é a forma mais forte de convergência.

Resposta

(a) A série converge absolutamente.
(b) A série também converge condicionalmente.

Exercícios relacionados