Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potência . Isso envolve entender sobre séries de potência e como determinar para quais valores de a série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta útil para analisar a convergência de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar se uma série infinita converge ou não, observando o limite do quociente entre termos consecutivos da série. A regra é a seguinte:
Se , a série converge.
Se limk to infty | ak+1ak | > 1, a série diverge.
Se o limite for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Aplicando isso à nossa série, temos ak = k! (x - 1)^k. Vamos calcular o limite:
limk to infty | ak+1ak | = limk to infty | (k+1)! (x - 1)^k+1k! (x - 1)^k |
Como o limite é infinito, que é maior que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série diverge para todos os valores de x. Isso significa que não existe intervalo de valores de x que faça a série convergir.
Resposta
O intervalo de convergência é vazio; não há valores de x para os quais a série converge.