Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência: sumk=0^infty k!(x-1)^k

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potência sumk=0^infty k! (x - 1)^k. Isso envolve entender sobre séries de potência e como determinar para quais valores de x a série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta útil para analisar a convergência de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar se uma série infinita converge ou não, observando o limite do quociente entre termos consecutivos da série. A regra é a seguinte:
  • Se limk to infty | ak+1ak | < 1, a série converge.
  • Se limk to infty | ak+1ak | > 1, a série diverge.
  • Se o limite for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Aplicando isso à nossa série, temos ak = k! (x - 1)^k. Vamos calcular o limite:
limk to infty | ak+1ak | = limk to infty | (k+1)! (x - 1)^k+1k! (x - 1)^k |

Passo 3

Simplificando a expressão:
limk to infty | (k+1)!k! cdot (x - 1)^k+1(x - 1)^k | = limk to infty | (k+1)(x - 1) |
Isso se simplifica para:
|x - 1| cdot limk to infty (k+1)
Sabemos que limk to infty (k+1) = infty, então:
|x - 1| cdot infty = infty

Passo 4

Como o limite é infinito, que é maior que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série diverge para todos os valores de x. Isso significa que não existe intervalo de valores de x que faça a série convergir.

Resposta

O intervalo de convergência é vazio; não há valores de x para os quais a série converge.

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