Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência: sumk=1^infty k^2 c^k x^k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você quer encontrar o intervalo de convergência da série de potência sumk=1^infty k^2 c^k x^k. Aqui, vamos trabalhar com séries de potência e usar o Teste da Razão para determinar onde essa série converge. Precisaremos entender um pouco sobre limites e propriedades das séries para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a aplicação do Teste da Razão. A série dada é:
sumk=1^infty k^2 c^k x^k
Podemos pensar nessa série como uma série em termos de (c x), já que c^k x^k = (c x)^k. Então, a série fica:
sumk=1^infty k^2 (c x)^k

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para séries de potência. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência da série. A fórmula do Teste da Razão é:
L = limk to infty | ak+1ak |
Onde ak é o termo geral da série. Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Identificando ak para a nossa série:
ak = k^2 (c x)^k
Então, ak+1 será:
ak+1 = (k+1)^2 (c x)^k+1

Passo 5

Aplicando o Teste da Razão:
L = limk to infty | (k+1)^2 (c x)^k+1k^2 (c x)^k | = limk to infty | (k+1)^2k^2 cdot c x |
Simplificando a expressão:
L = limk to infty ( (k+1)^2k^2 ) |c x| = limk to infty (1 + 2k + 1k^2 ) |c x|
Como k tende ao infinito, 2k e 1k^2 tendem a zero. Então:
L = 1 cdot |c x| = |c x|

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que L < 1:
|c x| < 1 implies |x| < 1|c|
Então, o raio de convergência é R = 1|c|.

Passo 7

Agora, determinamos o intervalo de convergência:
-1|c| < x < 1|c|

Resposta

O intervalo de convergência da série é $ \left( -\frac{1}{|c|}, \frac{1}{|c|} \right) $.

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