Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
sumk=1^infty cos (k pi)1+k x^k

Passo 1

Vamos entender o que foi pedido: precisamos encontrar o intervalo de convergência da série de potência
sumk=1^infty cos (k pi)1+k x^k
Conteúdo da matéria: Vamos usar o Teste da Razão para determinar onde essa série converge.
O que vamos precisar:
  • Entender como aplicar o Teste da Razão.
  • Saber simplificar expressões envolvendo cosenos e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
cos(kpi)1+k x^k
Sabemos que cos(kpi) = (-1)^k. Então, podemos reescrever a série como:
sumk=1^infty (-1)^k1+k x^k

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência. O teste diz que:
L = limk to infty | ak+1ak |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular ak+1ak:
ak+1ak = (-1)^k+12+k x^k+1 (-1)^k1+k x^k = (-1)^k+1 x^k+1 (1+k)(-1)^k x^k (2+k) = -x (1+k) 2 + k
A magnitude desse valor ��:
| ak+1ak | = | -x (1+k) 2 + k | = |x| cdot 1+k2+k

Passo 5

Calculamos o limite L:
L = limk to infty |x| cdot 1+k2+k = |x| cdot limk to infty k + 1k + 2 = |x| cdot 1 = |x|

Passo 6

Aplicando o Teste da Razão:
Para que a série convirja, precisamos que L < 1:
|x| < 1
Isso significa que a série converge para todos os valores de x cujo módulo é menor que 1.

Resposta

O intervalo de convergência da série é -1 < x < 1.

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