Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
Passo 1
Vamos entender o que foi pedido: precisamos encontrar o intervalo de convergência da série de potência
Conteúdo da matéria: Vamos usar o Teste da Razão para determinar onde essa série converge.
O que vamos precisar:
- Entender como aplicar o Teste da Razão.
- Saber simplificar expressões envolvendo cosenos e potências.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
Sabemos que
. Então, podemos reescrever a série como:
Passo 3
Agora, aplicamos o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência. O teste diz que:
Se
L < 1 , a série converge; se
L > 1 , diverge; e se
L = 1 , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos calcular
ak+1ak :
A magnitude desse valor ��:
Passo 5
Calculamos o limite
L :
Passo 6
Aplicando o Teste da Razão:
Para que a série convirja, precisamos que
L < 1 :
Isso significa que a série converge para todos os valores de
x cujo módulo é menor que 1.
Resposta
O intervalo de convergência da série é
-1 < x < 1 .