Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
Passo 1
Vamos entender o que foi pedido: precisamos encontrar o intervalo de convergência da série de potência
Conteúdo da matéria: Vamos usar o Teste da Razão para determinar onde essa série converge.
O que vamos precisar:
- Entender como aplicar o Teste da Razão.
- Saber simplificar expressões envolvendo cosenos e potências.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
Sabemos que
. Então, podemos reescrever a série como:
Passo 3
Agora, aplicamos o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência. O teste diz que:
Se
, a série converge; se
, diverge; e se
, o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos calcular
:
A magnitude desse valor ��:
Passo 5
Calculamos o limite
:
Passo 6
Aplicando o Teste da Razão:
Para que a série convirja, precisamos que
:
Isso significa que a série converge para todos os valores de
cujo módulo é menor que 1.
Resposta
O intervalo de convergência da série é
.
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