Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:

Passo 1

Vamos entender o que foi pedido: precisamos encontrar o intervalo de convergência da série de potência
Conteúdo da matéria: Vamos usar o Teste da Razão para determinar onde essa série converge.
O que vamos precisar:
  • Entender como aplicar o Teste da Razão.
  • Saber simplificar expressões envolvendo cosenos e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
Sabemos que . Então, podemos reescrever a série como:

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência. O teste diz que:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular :
A magnitude desse valor ��:

Passo 5

Calculamos o limite :

Passo 6

Aplicando o Teste da Razão:
Para que a série convirja, precisamos que :
Isso significa que a série converge para todos os valores de cujo módulo é menor que 1.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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