Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o intervalo de convergência da série de potência . Isso significa que queremos saber para quais valores de essa série vai somar um número finito.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que para determinar o intervalo de convergência de uma série de potência, uma das ferramentas mais úteis é o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert). Esse teste nos ajuda a verificar se a série converge ou diverge para certos valores de .
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que a série converge se:
No nosso caso, os termos da série são:
Então, vamos calcular :
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Passo 5
Como , o Teste da Razão nos diz que a série converge para todos os valores de . Isso significa que não há restrição no valor de para que a série convirja.