Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
sumk=0^infty 2^k x^k(k+1)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o intervalo de convergência da série de potência . Isso significa que queremos saber para quais valores de essa série vai somar um número finito.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que para determinar o intervalo de convergência de uma série de potência, uma das ferramentas mais úteis é o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert). Esse teste nos ajuda a verificar se a série converge ou diverge para certos valores de .

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que a série limk to infty | ak+1ak | < 1 converge se:
ak = 2^k x^k(k+1)!
No nosso caso, os termos da série são:
ak+1ak = 2^k+1 x^k+1(k+2)! cdot (k+1)!2^k x^k = 2 xk+2
Então, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limk to infty | 2xk+2 | = limk to infty 2|x|k+2 = 0 tende ao infinito:

Passo 5

Como , o Teste da Razão nos diz que a série converge para todos os valores de . Isso significa que não há restrição no valor de para que a série convirja.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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