Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita pra analisar. A pergunta é sobre saber se essa série:
converge de duas formas diferentes: convergência absoluta e convergência condicional. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries alternadas e os testes de convergência que a gente usa para verificar essas coisas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre convergência absoluta. Isso significa que, se a gente tirar o valor absoluto de cada termo da série e essa nova série ainda convergir, então a série original converge absolutamente. Ou seja, a gente vai analisar:

Passo 3

Agora, vamos observar o comportamento do denominador para valores grandes de . O termo dominante no denominador é , então para simplificar, podemos aproximar o denominador por quando é grande. Assim, a nossa série de valores absolutos fica aproximadamente:

Passo 4

Agora, vamos analisar essas duas séries separadamente:
  1. é uma série harmônica modificada, que sabemos que diverge.
  2. converge por ser uma p-série com .
No entanto, como uma das partes da nossa aproximação diverge, podemos concluir que a série de valores absolutos também diverge. Portanto, a série original não converge absolutamente.

Passo 5

Agora, vamos verificar a convergência condicional. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos satisfazem:
  1. para todo ,
  2. é decrescente,
  3. ,
então a série alternada converge.

Passo 6

Vamos verificar cada condição:
  1. Positividade: Para , tanto o numerador quanto o denominador são positivos, então .
  2. Decrescimento: Observando a forma de , vemos que conforme aumenta, o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, fazendo diminuir.
  3. Limite: Calculando o limite:
Todas as condições são satisfeitas, então a série converge condicionalmente.

Resposta

A série não converge absolutamente, mas converge condicionalmente.

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