Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potência . A matéria que vamos usar aqui é o Teste da Razão para séries de potência. Vamos precisar entender como aplicar esse teste para descobrir para quais valores de a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potência. É uma soma infinita que tem a forma , onde são os coeficientes. O Teste da Razão nos ajuda a determinar se essa série converge ou não para determinados valores de .
Passo 3
O Teste da Razão funciona assim: calculamos o limite quando tende ao infinito da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série, em módulo. Matematicamente, isso fica:
Se , a série converge absolutamente. Se , a série diverge, e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, . Então, temos:
Simplificando isso:
Quando tende ao infinito, os termos de maior grau dominam, então:
Passo 5
Como e , isso significa que a série converge para qualquer valor de . Portanto, o intervalo de convergência é todo o conjunto dos números reais.