Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
sumk=1^infty (k^2+1)k! x^k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potência . A matéria que vamos usar aqui é o Teste da Razão para séries de potência. Vamos precisar entender como aplicar esse teste para descobrir para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potência. É uma soma infinita que tem a forma , onde são os coeficientes. O Teste da Razão nos ajuda a determinar se essa série converge ou não para determinados valores de .

Passo 3

O Teste da Razão funciona assim: calculamos o limite quando L = limk to infty | ak+1 x^k+1ak x^k | tende ao infinito da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série, em módulo. Matematicamente, isso fica:
Se , a série converge absolutamente. Se , a série diverge, e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, L = limk to infty | (k+1)^2 + 1(k+1)! x^k+1 k^2 + 1k! x^k | . Então, temos:
L = limk to infty | (k+1)^2 + 1(k+1)(k^2 + 1) cdot x | = limk to infty | k^2 + 2k + 2k^3 + k cdot x |
Simplificando isso:
L = limk to infty | k^2k^3 cdot x | = limk to infty | xk | = 0
Quando tende ao infinito, os termos de maior grau dominam, então:

Passo 5

Como e , isso significa que a série converge para qualquer valor de . Portanto, o intervalo de convergência é todo o conjunto dos números reais.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

Exercícios relacionados