Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potência dada:
Isso envolve conceitos de séries de potência e testes de convergência, especialmente o Teste da Razão. Vamos precisar entender como aplicar esse teste para descobrir para quais valores de a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
Perceba que podemos simplificar dividido por :
Então:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para séries de potência, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência. O teste diz que a série converge quando:
Vamos calcular essa razão:
Agora, calculamos o limite quando limk to infty 2k+32k+1 x^2 = limk to infty 2 + 3k2 + 1k x^2 = 22 x^2 = x^2 tende ao infinito:
x^2 < 1
Para que a série convirja, precisamos que: |x| < 1
Isso significa que:
Então, o raio de convergência é 1.
Passo 4
Agora que sabemos que a série converge para sumk=1^infty (2k+1)!2k! (1)^2k = sumk=1^infty (2k+1), o próximo passo é verificar o que acontece nos pontos sumk=1^infty (2k+1)!2k! (-1)^2k = sumk=1^infty (2k+1) e .
Para :
Essa série é uma série harmônica modificada que diverge.
Para :
Assim como para , essa série também diverge.
Portanto, os pontos finais não fazem parte do intervalo de convergência.