Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
sumk=1^infty (2 k+1)!2 k! x^2 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potência dada:
sumk=1^infty (2k+1)!2k! x^2k
Isso envolve conceitos de séries de potência e testes de convergência, especialmente o Teste da Razão. Vamos precisar entender como aplicar esse teste para descobrir para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
ak = (2k+1)!2k! x^2k
Perceba que podemos simplificar (2k+1)! = (2k+1) cdot (2k)! dividido por ak = (2k+1) cdot (2k)!2k! x^2k = (2k+1) x^2k:
Então:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para séries de potência, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência limk to infty | ak+1ak | < 1. O teste diz que a série converge quando:
ak+1ak = (2(k+1)+1) x^2(k+1)(2k+1) x^2k = (2k+3) x^2k+2(2k+1) x^2k = 2k+32k+1 x^2
Vamos calcular essa razão:
Agora, calculamos o limite quando limk to infty 2k+32k+1 x^2 = limk to infty 2 + 3k2 + 1k x^2 = 22 x^2 = x^2 tende ao infinito:
x^2 < 1
Para que a série convirja, precisamos que:
|x| < 1
Isso significa que:

Então, o raio de convergência é 1.

Passo 4

Agora que sabemos que a série converge para sumk=1^infty (2k+1)!2k! (1)^2k = sumk=1^infty (2k+1), o próximo passo é verificar o que acontece nos pontos sumk=1^infty (2k+1)!2k! (-1)^2k = sumk=1^infty (2k+1) e .
  • Para :

Essa série é uma série harmônica modificada que diverge.
  • Para :

Assim como para , essa série também diverge.
Portanto, os pontos finais não fazem parte do intervalo de convergência.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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