Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potência dada:
Isso envolve conceitos de séries de potência e testes de convergência, especialmente o Teste da Razão. Vamos precisar entender como aplicar esse teste para descobrir para quais valores de a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
Perceba que podemos simplificar dividido por :
Então:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para séries de potência, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência. O teste diz que a série converge quando:
Vamos calcular essa razão:
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Para que a série convirja, precisamos que:
Isso significa que:
Então, o raio de convergência é 1.
Passo 4
Agora que sabemos que a série converge para , o próximo passo é verificar o que acontece nos pontos e .
Para :
Essa série é uma série harmônica modificada que diverge.
Para :
Assim como para , essa série também diverge.
Portanto, os pontos finais não fazem parte do intervalo de convergência.