Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potência dada:

Isso envolve conceitos de séries de potência e testes de convergência, especialmente o Teste da Razão. Vamos precisar entender como aplicar esse teste para descobrir para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:

Perceba que podemos simplificar dividido por :
Então:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para séries de potência, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência . O teste diz que a série converge quando:

Vamos calcular essa razão:
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:

Para que a série convirja, precisamos que:
Isso significa que:

Então, o raio de convergência é 1.

Passo 4

Agora que sabemos que a série converge para , o próximo passo é verificar o que acontece nos pontos e .
  • Para :

Essa série é uma série harmônica modificada que diverge.
  • Para :

Assim como para , essa série também diverge.
Portanto, os pontos finais não fazem parte do intervalo de convergência.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
Nos exercícios abaixo, encontre os valores de para os quais a série converge:
Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
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