Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série converge absolutamente ou condicionalmente. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dela também converge. Ou seja, vamos analisar a série .

Passo 3

Agora, precisamos ver se a série converge. Para isso, podemos comparar com a série , que sabemos que converge se e diverge se . No nosso caso, o termo cresce sem limites conforme aumenta, o que é bem maior do que qualquer termo com . Logo, a série diverge. Portanto, a série original não converge absolutamente.

Passo 4

Agora, vamos verificar a convergência condicional. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos de uma série alternada satisfazem:
  1. é decrescente.
  2. .
Então, a série converges condicionalmente. No nosso caso, . Vamos verificar as condições:
  1. Decrescente? Não, na verdade está aumentando porque o numerador cresce mais rápido que o denominador.
  2. Limite? .
Como o limite dos termos não é zero, a série não converge condicionalmente.

Resposta

A série não converge absolutamente nem condicionalmente.

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