Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
sumk=2^infty(-1)^k+1 kln k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série sumk=2^infty(-1)^k+1 kln k converge absolutamente ou condicionalmente. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dela também converge. Ou seja, vamos analisar a série sumk=2^infty | (-1)^k+1 kln k | = sumk=2^infty kln k.

Passo 3

Agora, precisamos ver se a série sumk=2^infty kln k converge. Para isso, podemos comparar com a série sumk=2^infty 1k^p, que sabemos que converge se p > 1 e diverge se p <= 1. No nosso caso, o termo kln k cresce sem limites conforme k aumenta, o que é bem maior do que qualquer termo 1k^p com p > 0. Logo, a série sumk=2^infty kln k diverge. Portanto, a série original não converge absolutamente.

Passo 4

Agora, vamos verificar a convergência condicional. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos ak de uma série alternada satisfazem:
  1. ak é decrescente.
  2. limk to infty ak = 0.
Então, a série converges condicionalmente. No nosso caso, ak = kln k. Vamos verificar as condições:
  1. Decrescente? Não, na verdade ak está aumentando porque o numerador cresce mais rápido que o denominador.
  2. Limite? limk to infty kln k = infty neq 0.
Como o limite dos termos não é zero, a série não converge condicionalmente.

Resposta

A série sumk=2^infty(-1)^k+1 kln k não converge absolutamente nem condicionalmente.

Exercícios relacionados