Nos exercícios abaixo, encontre os valores de x>0 para os quais a série converge:
1+x^2+x^4+ldots=sumk=0^infty x^2 k

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente descobrir para quais valores de a série converge. Vamos usar o conteúdo de séries geométricas para resolver isso, já que a série parece seguir esse padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a série é uma série geométrica onde o primeiro termo e a razão .

Passo 3

Para uma série geométrica convergir, a razão |x^2| < 1 precisa satisfazer a condição x^2 < 1 . No nosso caso, isso significa que:
Como , podemos simplificar para:

Passo 4

Resolvendo a inequação x < 1 :

Resposta

A série converge para todo positivo que seja menor que 1, ou seja, para .

Exercícios relacionados