Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Passo 1
Vamos analisar a série . O objetivo é verificar se ela converge absolutamente e se converge condicionalmente. Para isso, precisamos entender os conceitos de convergência absoluta e condicional, além de usar testes de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que:
Subtraindo essas duas, temos:
Então, a série original fica:
Passo 3
Agora, precisamos verificar a convergência absoluta da série. A série converge absolutamente se a série dos valores absolutos converge. Vamos considerar:
Essa série é conhecida como a série harmônica ponderada por .
Passo 4
Para testar a convergência da série , podemos usar o Teste da Comparação. Sabemos que decresce exponencialmente, tornando os termos menores que .
Sabemos que a série converge se . No nosso caso, temos , mas como multiplicado por , a série converge pelo Teste da Comparação com uma série geométrica.
Passo 5
Com a série convergindo, concluímos que a série original converge absolutamente, já que a soma dos valores absolutos também converge.
Passo 6
Já que a série converge absolutamente, ela também converge condicionalmente. No entanto, como a convergência absoluta é mais forte, não precisamos considerar separadamente a convergência condicional.