Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência: sumk=0^infty (-1)^k+1k! x^k

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potência dada por:
sumk=0^infty (-1)^k+1k! x^k
Aqui, estamos lidando com séries de potência, que são somas infinitas envolvendo potências de . Para encontrar o intervalo onde essa série converge, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série soma se aproxima de um número finito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para uma série L = limk to infty | ak+1ak |, se o limite:

for menor que 1, a série converge. Se for maior que 1, a série diverge, e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral ak = (-1)^k+1k! x^k da nossa série:

Queremos encontrar o limite de conforme tende ao infinito.

Passo 4

Calculando ak+1ak = (-1)^(k+1)+1(k+1)! x^k+1 (-1)^k+1k! x^k = (-1)^k+2 (k+1)! cdot k! (-1)^k+1 cdot x = (-1)^1 k+1 cdot x = -x k+1 :
| ak+1ak | = | -x k+1 | = |x| k+1
Agora, vamos tirar o valor absoluto:

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando L = limk to infty |x| k+1 = 0 tende ao infinito:
Como , isso significa que, independentemente do valor de , o limite é sempre menor que 1.

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão, se , a série converge. No nosso caso, para qualquer valor de . Isso indica que a série converge para todos os valores de .

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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