Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potência dada por:
Aqui, estamos lidando com séries de potência, que são somas infinitas envolvendo potências de . Para encontrar o intervalo onde essa série converge, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série soma se aproxima de um número finito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para uma série , se o limite:
for menor que 1, a série converge. Se for maior que 1, a série diverge, e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Agora, vamos identificar o termo geral ak = (-1)^k+1k! x^k da nossa série:
Queremos encontrar o limite de conforme tende ao infinito.
Agora, calculamos o limite quando L = limk to infty |x| k+1 = 0 tende ao infinito:
Como , isso significa que, independentemente do valor de , o limite é sempre menor que 1.
Passo 6
De acordo com o Teste da Razão, se , a série converge. No nosso caso, para qualquer valor de . Isso indica que a série converge para todos os valores de .