Nos exercícios abaixo determine o valor de x para os quais a série converge absolutamente:
Passo 1
Beleza, vamos começar! O enunciado pede para descobrir para quais valores de a série converge absolutamente. Isso envolve entender séries de potências e como testar a convergência delas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dos termos também converge. Então, vamos olhar para a série dos valores absolutos:
Passo 3
Agora, queremos saber para quais valores de essa nova série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica comum para testar a convergência de séries infinitas.
Passo 4
No Teste da Razão, calculamos o limite do quociente entre termos consecutivos da série. Vamos chamar o termo geral de limk to infty | ak+1ak | = limk to infty x^2(k+1)(2(k+1))! cdot (2k)!x^2k = limk to infty x^2(2k+2)(2k+1) . Então, calculamos:
Passo 5
Simplificando o limite:
limk to infty x^2(2k+2)(2k+1) = limk to infty x^24k^2 + 6k + 2 = 0
Passo 6
Como o limite é , que é menor que , o Teste da Razão nos diz que a série converge para todo valor real de .