Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potência:
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série de potência. Basicamente, é uma soma infinita que envolve potências de uma variável, no caso, o . O intervalo de convergência é o conjunto de valores de para os quais essa soma dá um resultado finito.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que se o limite:
Como estamos interessados no valor absoluto, o não importa:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando L = limk to infty e |x| cdot ( kk+1 )^2 = e |x| cdot ( limk to infty kk+1 )^2 = e |x| cdot 1 = e |x| vai para o infinito:
Passo 6
Aplicando o Teste da Razão, queremos que e |x| < 1 para que a série convirja:
|x| < 1e
Resolvendo para :
Passo 7
Então, o intervalo de convergência é todos os valores de |x| < 1e tais que:
Isso significa que a série converge para qualquer dentro desse intervalo.