Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potência:
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série de potência. Basicamente, é uma soma infinita que envolve potências de uma variável, no caso, o . O intervalo de convergência é o conjunto de valores de para os quais essa soma dá um resultado finito.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que se o limite:
for menor que 1, a série converge. Aqui, .

Passo 4

Vamos calcular :
Como estamos interessados no valor absoluto, o não importa:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando vai para o infinito:

Passo 6

Aplicando o Teste da Razão, queremos que para que a série convirja:
Resolvendo para :

Passo 7

Então, o intervalo de convergência é todos os valores de tais que:
Isso significa que a série converge para qualquer dentro desse intervalo.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
Nos exercícios abaixo determine o valor de x para os quais a série converge absolutamente:
Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
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