Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
sumk=1^infty (-1)^k e^kk^2 x^k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potência:
sumk=1^infty (-1)^k e^kk^2 x^k
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série de potência. Basicamente, é uma soma infinita que envolve potências de uma variável, no caso, o . O intervalo de convergência é o conjunto de valores de para os quais essa soma dá um resultado finito.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que se o limite:
L = limk to infty | ak+1ak |
for menor que 1, a série converge. Aqui, .

Passo 4

Vamos calcular ak+1ak = (-1)^k+1 e^k+1 x^k+1 / (k+1)^2(-1)^k e^k x^k / k^2 = (-1) cdot e cdot x cdot ( kk+1 )^2 :
| ak+1ak | = e |x| cdot ( kk+1 )^2
Como estamos interessados no valor absoluto, o não importa:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando L = limk to infty e |x| cdot ( kk+1 )^2 = e |x| cdot ( limk to infty kk+1 )^2 = e |x| cdot 1 = e |x| vai para o infinito:

Passo 6

Aplicando o Teste da Razão, queremos que e |x| < 1 para que a série convirja:
|x| < 1e
Resolvendo para :

Passo 7

Então, o intervalo de convergência é todos os valores de |x| < 1e tais que:
Isso significa que a série converge para qualquer dentro desse intervalo.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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