Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática juntos! O enunciado pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potência . Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série , se o limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Identificando na nossa série: . Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite absoluto desse quociente:
Como , pelo Teste da Razão, a série converge para qualquer valor de .

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

Exercícios relacionados

Nos exercícios abaixo determine o valor de x para os quais a série converge absolutamente:
Utilize o teorema sobre a convergência da série geométrica para comprovar as seguintes igualdades:
se
Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.