Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
sumk=0^infty (-1)^k+1k! x^k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática juntos! O enunciado pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potência . Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série , se o limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Identificando ak+1ak = (-1)^(k+1)+1(k+1)! x^k+1 (-1)^k+1k! x^k = (-1)^k+2 (k+1)! cdot k! (-1)^k+1 cdot x = -x k+1 na nossa série: . Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite absoluto desse quociente:
L = limk to infty | -xk+1 | = limk to infty |x|k+1 = 0
Como , pelo Teste da Razão, a série converge para qualquer valor de .

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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