Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Passo 1
Vamos analisar a série . O objetivo é verificar se ela converge absolutamente ou condicionalmente. Para isso, precisamos entender os conceitos de convergência absoluta e convergência condicional de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que precisamos analisar a série dos valores absolutos: .
Passo 3
Observando sen(k pi2) para valores inteiros de k, percebemos que ele alterna entre 0, 1, 0, -1, etc. Portanto, |sen(k pi2)| será 0 ou 1, dependendo do k.
Passo 4
Assim, a série dos valores absolutos se reduz a somar 1k apenas para os termos onde |sen(k pi2)| = 1, ou seja, para k ímpares. Portanto, temos uma série semelhante à harmônica:
sumk ímpar 1kí
Passo 5
Sabemos que a série harmônica sumk=1^infty 1k é divergente. Mesmo restringindo aos termos ímpares, a série continua divergente, pois é similar a metade da série harmônica. Portanto, a série dos valores absolutos diverge.
Passo 6
Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente. Agora, vamos verificar se ela converge condicionalmente.
Passo 7
Para isso, aplicamos o Teste da Série Alternada. A série dado tem termos que alternam sinais e satisfazem:
ak = |sen(k pi2)|k é decrescente.
limk to infty ak = 0.
Passo 8
Como os critérios do Teste da Série Alternada são atendidos, concluímos que a série original converge condicionalmente.