Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.

Passo 1

Vamos analisar a série . O objetivo é verificar se ela converge absolutamente ou condicionalmente. Para isso, precisamos entender os conceitos de convergência absoluta e convergência condicional de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que precisamos analisar a série dos valores absolutos: .

Passo 3

Observando para valores inteiros de , percebemos que ele alterna entre 0, 1, 0, -1, etc. Portanto, será 0 ou 1, dependendo do .

Passo 4

Assim, a série dos valores absolutos se reduz a somar apenas para os termos onde , ou seja, para ímpares. Portanto, temos uma série semelhante à harmônica:
í

Passo 5

Sabemos que a série harmônica é divergente. Mesmo restringindo aos termos ímpares, a série continua divergente, pois é similar a metade da série harmônica. Portanto, a série dos valores absolutos diverge.

Passo 6

Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente. Agora, vamos verificar se ela converge condicionalmente.

Passo 7

Para isso, aplicamos o Teste da Série Alternada. A série dado tem termos que alternam sinais e satisfazem:
  1. é decrescente.
  2. .

Passo 8

Como os critérios do Teste da Série Alternada são atendidos, concluímos que a série original converge condicionalmente.

Resposta

(a) A série não converge absolutamente.
(b) A série converge condicionalmente.

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