Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
sumk=1^infty sen(k pi2)k

Passo 1

Vamos analisar a série sumk=1^infty sen(k pi2)k. O objetivo é verificar se ela converge absolutamente ou condicionalmente. Para isso, precisamos entender os conceitos de convergência absoluta e convergência condicional de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que precisamos analisar a série dos valores absolutos: sumk=1^infty | sen(k pi2)k | = sumk=1^infty |sen(k pi2)|k.

Passo 3

Observando sen(k pi2) para valores inteiros de k, percebemos que ele alterna entre 0, 1, 0, -1, etc. Portanto, |sen(k pi2)| será 0 ou 1, dependendo do k.

Passo 4

Assim, a série dos valores absolutos se reduz a somar 1k apenas para os termos onde |sen(k pi2)| = 1, ou seja, para k ímpares. Portanto, temos uma série semelhante à harmônica:
sumk ímpar 1kí

Passo 5

Sabemos que a série harmônica sumk=1^infty 1k é divergente. Mesmo restringindo aos termos ímpares, a série continua divergente, pois é similar a metade da série harmônica. Portanto, a série dos valores absolutos diverge.

Passo 6

Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente. Agora, vamos verificar se ela converge condicionalmente.

Passo 7

Para isso, aplicamos o Teste da Série Alternada. A série dado tem termos que alternam sinais e satisfazem:
  1. ak = |sen(k pi2)|k é decrescente.
  2. limk to infty ak = 0.

Passo 8

Como os critérios do Teste da Série Alternada são atendidos, concluímos que a série original converge condicionalmente.

Resposta

(a) A série não converge absolutamente.
(b) A série converge condicionalmente.

Exercícios relacionados