Nos exercícios abaixo determine o valor de x para os quais a série converge absolutamente:
sumk=0^infty x^k2 k+1=1+x3+x^25 ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os valores de para os quais a série converge absolutamente. Isso envolve o estudo de séries infinitas e a análise de sua convergência usando conceitos de cálculo, como o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos também converge. Ou seja, se converge, então converge absolutamente.

Passo 3

Agora, aplicaremos o Teste da Raiz ou o Teste da Razão para determinar os valores de que garantem a convergência absoluta da nossa série. Vamos optar pelo Teste da Raiz, que é eficaz para séries com termos envolvendo potências de .

Passo 4

O Teste da Raiz diz que se
L = limk to infty raiz[k]|ak|
e:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 5

Aplicando o Teste da Raiz na nossa série:
ak = x^k2k+1
Calculamos:
raiz[k]|ak| = raiz[k]| x^k2k+1 | = |x|raiz[k]2k+1

Passo 6

Vamos calcular o limite L = limk to infty |x|raiz[k]2k+1 :
Observamos que tende para 1 quando tende ao infinito, pois o crescimento de é sublinear comparado a -ésimo raiz.

Passo 7

Portanto:
L = limk to infty |x|1 = |x|
Segundo o Teste da Raiz:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , precisamos analisar separadamente.

Passo 8

Vamos analisar o caso quando sumk=0^infty 1^k2k+1 = sumk=0^infty 12k+1 :
Isso é uma série harmônica alternada, que diverge, pois a série harmônica é divergente.

Resposta

A série converge absolutamente para todos os valores de que satisfazem .

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