Nos exercícios abaixo determine o valor de x para os quais a série converge absolutamente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os valores de para os quais a série converge absolutamente. Isso envolve o estudo de séries infinitas e a análise de sua convergência usando conceitos de cálculo, como o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos também converge. Ou seja, se converge, então converge absolutamente.
Passo 3
Agora, aplicaremos o Teste da Raiz ou o Teste da Razão para determinar os valores de que garantem a convergência absoluta da nossa série. Vamos optar pelo Teste da Raiz, que é eficaz para séries com termos envolvendo potências de .
Passo 4
O Teste da Raiz diz que se
e:
Se , a série converge absolutamente.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 5
Aplicando o Teste da Raiz na nossa série:
Calculamos:
Passo 6
Vamos calcular o limite :
Observamos que tende para 1 quando tende ao infinito, pois o crescimento de é sublinear comparado a -ésimo raiz.
Passo 7
Portanto:
Segundo o Teste da Raiz:
Se , a série converge absolutamente.
Se , a série diverge.
Se , precisamos analisar separadamente.
Passo 8
Vamos analisar o caso quando :
Isso é uma série harmônica alternada, que diverge, pois a série harmônica é divergente.
Resposta
A série converge absolutamente para todos os valores de que satisfazem .