Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
O objetivo é verificar se essa série converge absolutamente ou converge condicionalmente. Para isso, vamos usar conceitos de análise de séries e aplicar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta e condicional:
  • Convergência Absoluta: Uma série converge absolutamente se a soma dos valores absolutos dos termos também converge. Ou seja, se:
converge, então a série original converge absolutamente.
  • Convergência Condicional: A série converge condicionalmente se a série original converge, mas a série dos valores absolutos diverge.
Vamos começar testando a convergência absoluta.

Passo 3

Consideramos a série dos valores absolutos:
Para verificar a convergência dessa série, vamos aplicar o Teste da Razão, que é muito útil para séries com termos envolvendo fatorial. O Teste da Raz��o nos diz que para a série , calculamos:
Se , a série converge absolutamente.
Vamos aplicar isso à nossa série:
Calculamos :
Simplificando:
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Como , segundo o Teste da Razão, a série dos valores absolutos converge.

Resposta

A série converge absolutamente.

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