Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
O objetivo é verificar se essa série converge absolutamente ou converge condicionalmente. Para isso, vamos usar conceitos de análise de séries e aplicar alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta e condicional:
Convergência Absoluta: Uma série converge absolutamente se a soma dos valores absolutos dos termos também converge. Ou seja, se:
converge, então a série original converge absolutamente.
Convergência Condicional: A série converge condicionalmente se a série original converge, mas a série dos valores absolutos diverge.
Vamos começar testando a convergência absoluta.
Passo 3
Consideramos a série dos valores absolutos:
sumk=1^infty k^2(k+2)!
Para verificar a convergência dessa série, vamos aplicar o Teste da Razão, que é muito útil para séries com termos envolvendo fatorial. O Teste da Raz��o nos diz que para a série L = limk to infty | ak+1ak | , calculamos:
ak = k^2(k+2)!
Se ak+1ak = (k+1)^2(k+3)! cdot (k+2)!k^2 = (k+1)^2k^2 cdot 1k+3 , a série converge absolutamente.
Vamos aplicar isso à nossa série:
ak+1ak = (1 + 2k + 1k^2) cdot 1k+3
Calculamos L = limk to infty (1 + 2k + 1k^2) cdot 1k+3 = limk to infty 1k+3 = 0 :
Simplificando:
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Como , segundo o Teste da Razão, a série dos valores absolutos converge.