Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
sumk=0^infty k x^k2^k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o intervalo de convergência da série de potência . Isso está relacionado ao estudo de séries de potência na matemática, onde queremos saber para quais valores de a série converge, ou seja, soma até chegar em um valor finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o raio de convergência da série. A ideia é calcular o limite do valor absoluto da razão entre termos consecutivos da série quando L = limk to infty | ak+1ak | tende ao infinito. A fórmula do teste é:
Onde .

Passo 3

Vamos calcular esse limite:
ak+1ak = (k+1) x^k+1 / 2^k+1k x^k / 2^k = (k+1) x2k
Então, o limite fica:
L = limk to infty | (k+1) x2k | = | x2 |

Passo 4

De acordo com o Teste da Razão, a série converge se | x2 | < 1 implies |x| < 2 . Então:
Isso nos dá o raio de convergência de 2. Agora, precisamos verificar os pontos finais e para ver se a série converge nesses valores.

Passo 5

Vamos testar sumk=0^infty k cdot 2^k2^k = sumk=0^infty k :
sumk=0^infty k cdot (-2)^k2^k = sumk=0^infty k cdot (-1)^k
Essa série é a soma dos números naturais, que diverge.
Agora, para :
Essa série também diverge porque os termos não tendem a zero.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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