Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o intervalo de convergência da série de potência . Isso está relacionado ao estudo de séries de potência na matemática, onde queremos saber para quais valores de a série converge, ou seja, soma até chegar em um valor finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o raio de convergência da série. A ideia é calcular o limite do valor absoluto da razão entre termos consecutivos da série quando tende ao infinito. A fórmula do teste é:
Onde .

Passo 3

Vamos calcular esse limite:
Então, o limite fica:

Passo 4

De acordo com o Teste da Razão, a série converge se . Então:
Isso nos dá o raio de convergência de 2. Agora, precisamos verificar os pontos finais e para ver se a série converge nesses valores.

Passo 5

Vamos testar :
Essa série é a soma dos números naturais, que diverge.
Agora, para :
Essa série também diverge porque os termos não tendem a zero.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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