Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potência:
Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries de potência e testes de convergência, como o Teste da Razão. Não se preocupe se esses termos parecem complicados agora, vou explicar cada passo de forma bem simples!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o Intervalo de Convergência é o conjunto de valores de para os quais a série converge, ou seja, dá um resultado finito.
Nossa série é uma soma infinita que envolve termos com potências de . Para descobrir onde essa soma converge, vamos usar o Teste da Razão.
Passo 3
O Teste da Razão nos ajuda a encontrar o raio de convergência. Ele funciona assim:
Se | ak+1ak | = | (-1)^k+1(k+1)(k+2) x^k+1 cdot k(k+1)(-1)^k x^k | = | kk+2 x | , a série converge; se L = limk to infty | kk+2 x | = |x| limk to infty kk+2 = |x| cdot 1 = |x| , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, o termo geral da série é:
Vamos calcular :
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Passo 4
Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que |x| < 1 :
Esse é o raio de convergência. Portanto, o intervalo pode ser inicialmente pensado como .
Passo 5
Agora, precisamos verificar os pontos finais do intervalo, ou seja, sumk=1^infty (-1)^kk(k+1) cdot 1^k = sumk=1^infty (-1)^kk(k+1) e sumk=1^infty (-1)^kk(k+1) cdot (-1)^k = sumk=1^infty 1k(k+1) , para ver se a série converge nesses pontos.
Para 1k(k+1) = 1k - 1k+1 :
A série fica:
sumk=1^infty ( 1k - 1k+1 ) = 1
Essa é uma série alternada que atende aos critérios do Teste da Série Alternada:
é decrescente.
.
Portanto, a série converge para .
Para :
A série fica:
Essa é uma série de termos positivos. Podemos simplificá-la usando frações parciais:
A série telescópica resultante é:
Como a soma converge para 1, a série também converge para .