Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.

Passo 1

Então, a gente tem que analisar a série . O objetivo é descobrir se essa série converge absolutamente ou converge condicionalmente. Para isso, vamos precisar usar testes de convergência de séries e entender um pouquinho sobre séries alternadas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série converge absolutamente. Isso significa que a gente ignora o sinal alternado (o ) e olha para a série dos valores absolutos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o termo geral dessa nova série:
Para facilitar, podemos aproximar quando é grande. Então:

Passo 4

A gente sabe que a série converge se e diverge se . No nosso caso, , que é menor que 1.

Passo 5

Como , a série diverge. Isso quer dizer que a série original não converge absolutamente.

Passo 6

Agora, vamos verificar se a série converge condicionalmente. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma converge se:
  1. para todo ,
  2. ,
  3. é uma sequência decrescente.

Passo 7

Vamos checar cada condição:
  1. é positivo para todo .
  2. .
  3. Para ver se é decrescente, observamos que conforme aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, então diminui.

Passo 8

Como todas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas, a série converge condicionalmente.

Resposta

A série não converge absolutamente, mas converge condicionalmente.

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