Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Passo 1
Então, a gente tem que analisar a série . O objetivo é descobrir se essa série converge absolutamente ou converge condicionalmente. Para isso, vamos precisar usar testes de convergência de séries e entender um pouquinho sobre séries alternadas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série converge absolutamente. Isso significa que a gente ignora o sinal alternado (o ) e olha para a série dos valores absolutos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o termo geral dessa nova série:
Para facilitar, podemos aproximar quando é grande. Então:
Passo 4
A gente sabe que a série converge se e diverge se . No nosso caso, , que é menor que 1.
Passo 5
Como , a série diverge. Isso quer dizer que a série original não converge absolutamente.
Passo 6
Agora, vamos verificar se a série converge condicionalmente. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma converge se:
para todo ,
,
é uma sequência decrescente.
Passo 7
Vamos checar cada condição:
é positivo para todo .
.
Para ver se é decrescente, observamos que conforme aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, então diminui.
Passo 8
Como todas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas, a série converge condicionalmente.
Resposta
A série não converge absolutamente, mas converge condicionalmente.