Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potências . Isso significa que queremos descobrir para quais valores de essa soma infinita dá um resultado finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar se a série converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que para uma série , calculamos o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos identificar na nossa série:
Agora, vamos calcular :
Passo 4
Agora, vamos montar a razão :
Passo 5
Vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que , então:
Passo 6
De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que . Então:
Isso significa que a série converge para valores de entre -1 e 1.