Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potências . Isso significa que queremos descobrir para quais valores de essa soma infinita dá um resultado finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar se a série converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que para uma série , calculamos o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar na nossa série:
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos montar a razão :

Passo 5

Vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que , então:

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que . Então:
Isso significa que a série converge para valores de entre -1 e 1.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

Exercícios relacionados

Nos exercícios abaixo, encontre os valores de para os quais a série converge:
Utilize o teorema sobre a convergência da série geométrica para comprovar as seguintes igualdades:
se
Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência: