Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
sumk=0^infty x^kk+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potências sumk=0^infty x^kk+2. Isso significa que queremos descobrir para quais valores de x essa soma infinita dá um resultado finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar se a série converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que para uma série sum ak, calculamos o limite:
L = limk to infty | ak+1ak |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar ak na nossa série:
ak = x^kk+2
Agora, vamos calcular ak+1:
ak+1 = x^k+1(k+1)+2 = x^k+1k+3

Passo 4

Agora, vamos montar a razão ak+1ak:
ak+1ak = x^k+1k+3x^kk+2 = x^k+1 cdot (k+2)x^k cdot (k+3) = x cdot k+2k+3

Passo 5

Vamos calcular o limite quando k tende ao infinito:
L = limk to infty | x cdot k+2k+3 | = |x| cdot limk to infty k+2k+3
Sabemos que limk to infty k+2k+3 = 1, então:
L = |x| cdot 1 = |x|

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que L < 1. Então:
|x| < 1
Isso significa que a série converge para valores de x entre -1 e 1.

Resposta

O intervalo de convergência da série é -1 < x < 1.

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